Sind die Abbildungen Gruppemhomomorphismen?

Question

Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen, welche sind Isomorphismen von Gruppen. Begründen Sie!

(1) \( f_{1}:(\mathbb{R},+) \rightarrow(\mathbb{R},+), x \mapsto \sqrt{x} \)
(2) \( f_{2}:(\mathbb{Q},+) \rightarrow(\mathbb{R},+), x \mapsto x \)
(3) \( f_{3}:(\mathbb{Z},+) \rightarrow(\mathbb{Z},+), x \mapsto 7 x \)

Ich brauche einen Denkanstoß. Also: reicht es wenn ich überprüfe ob f(a+b)=f(a)+f(b) ist ? Wenn ja, dann sind f2 und f3 auch Gruppenhomomorphismen. Aber wenn ich zeigen soll, dass:

f(eG)=eH

Und f(g^-1)=[f(g)]^-1

Dann sind die ganzen Abbildungen irgendwie keine Gruppenhomomorphismen mehr. Mache ich etwas falsch?

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Aber wenn ich zeigen soll, dass:

f(eG)=eH

Und f(g^-1)=[f(g)]^-1

Dann sind die ganzen Abbildungen irgendwie keine Gruppenhomomorphismen mehr. Mache ich etwas falsch?

Offensichtlich ja. Was ist denn das neutrale Element von \( (\mathbb Z,+) \) und \( (\mathbb Q,+) \) und auf was werden diese abgebildet?

Bei den Inversen musst du auf die Notation aufpassen. Hier wird die additive Notation "+" verwendet, dass heißt das inverse Element zu \( x \)  wird häufig auch mit \( -x \) bezeichnet und nicht \( x^{-1} \). In \( (\mathbb Q,+) \) ist z.B. das Inverse zur \( 5 \) die Zahl \( -5 \) und nicht etwa \( 5^{-1} = 0.2 \).

Wenn du dir das jetzt nochmal genau überlegst, solltest du feststellen, dass die zweite und dritte Abbildung die beiden Eigenschaften erfüllt. Um zu zeigen, dass es sich um Homomorphismen handelt reicht aber f(a+b) = f(a) + f(b) nachzurechnen.

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Achso, verstehe. Da war dann scheinbar mein Fehler. Danke dir, für den Tipp!

Answer 1

reicht es wenn ich überprüfe ob f(a+b)=f(a)+f(b)

Ja, das reicht. Und du hast auch das richtige Ergebnis.

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Perfekt, danke!