Zeigen Sie, dass A und B abgeschlossen sind.

Question

Aufgabe:

3. Für \( A, B \subseteq \mathbb{R}^{n} \) setzen wir \( A+B:=\{a+b \mid a \in A, b \in B\} \). Es seien
\( A:=\mathbb{R} \times\{0\} \subset \mathbb{R}^{2} \quad \text { und } \quad B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x y=1\right\} \)
(a) Zeigen Sie, dass \( A \) und \( B \) abgeschlossen sind.
(b) Zeigen Sie, dass \( A+B \) nicht abgeschlossen ist.

Answer 1

Hallo,

(a)

Es gilt \(A=\mathbb{R}\times \{0\}=\{(x,0) : x\in \mathbb{R}\}\), d. h. \(A\) ist einfach die Abzisse. Sei \((a_n)_n=(b_n,0)_n\) eine Folge aus \(A\), die gegen \((b,0)\) konvergiert. Da für alle \(b\in \mathbb{R}\) gilt, dass \((b,0)\in A\) liegt, so ist \(A\) (folgen-)abgeschlossen.

Definiere \(f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, \, (x,y)\mapsto xy\), diese Abbildung ist stetig als Produkt stetiger Funktionen und es gilt \(B=f^{-1}(1)\). Singletons wie \(\{1\}\) sind abgeschlossen in \(\mathbb{R}\) und stetige Urbilder abgeschlossener Mengen ebenfalls.

(b)

Hast du dir schon mal überlegt, wie diese Menge (die "Minkowski-Summe") aussieht?