Herangehensweise zur Lösung einer Gleichung (Variable in zwei Summanden & unter Wurzel)

Question

Die Kurvendiskussion ist die Folgende: $$f(x)=3x\sqrt{9-x}$$

Definitionsbereich, Symmetrie, Achsenschnittpunkte ist alles geklärt, jetzt muss noch Monotonie/Extremwerte her. Dafür habe ich die Ableitung mit der Produktregel und der Kettenregel gebildet:

$$f(x)=3\sqrt{9-x}+\frac{-3x}{2\sqrt{9-x}}$$

Soweit, so gut (denke ich). Jetzt fangen bei mir aber die Probleme an, wenn ich diese Ableitung zur Bestimmung der Nullstellen dieser Ableitung gleich 0 setze.

$$0=3\sqrt{9-x}+\frac{-3x}{2\sqrt{9-x}}$$

Nun ist bei mir aber Schicht im Schacht.

Gibt es vielleicht eine Herangehensweise, wie ich solche Gleichungen einfacher lösen kann? Ich habe im Kopf, dass im Nenner eines Bruchs im Optimalfall keine Wurzel oder Variable stehen, aber wie lässt sich das umsetzen?

Ich bedanke mich jetzt schon sehr dafür, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!

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Tobi :)

Answer 1

Aloha :)

Deine Ableitung ist korrekt. Wenn du sie noch ein bisschen weiter vereinfachst, indem du die beiden Summanden auf den Hauptnenner bringst$$f'(x)=3\sqrt{9-x}+\frac{-3x}{2\sqrt{9-x}}=\frac{3\sqrt{9-x}\cdot2\sqrt{9-x}}{2\sqrt{9-x}}+\frac{-3x}{2\sqrt{9-x}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{6(9-x)}{2\sqrt{9-x}}+\frac{-3x}{2\sqrt{9-x}}=\frac{54-6x-3x}{2\sqrt{9-x}}=\frac{54-9x}{2\sqrt{9-x}}=\frac{9(6-x)}{2\sqrt{9-x}}$$erkennst du sofort, dass der Zähler eine einzige Nullstelle bei \(x=6\) hat. Das ist der Kandidat für dein Extremum.

Die 2-te Ableitung ist übrigens:$$f''(x)=\frac{9(x-12)}{4(9-x)^{3/2}}$$Wenn du die nicht ausrechnen möchtest, kannst du auch argumentieren, dass die erste Ableitung \(f'(x)\) bei \(x=6\) ihr Vorzeichen von Plus zu Minus wechselt. Vor \(x=6\) steigt die Funktion also an, hinter \(x=6\) fällt sie ab. Wir haben bei \(x=6\) also ein Maximum vorliegen.

Answer 2

Hallo Tobi,

du kannst die Ableitung noch weiter umformen, indem du den ersten Summanden mit \(2\sqrt{9-x}\) erweiterst.

Das ergibt \(f'(x)=-\frac{54-9x}{2\sqrt{9-x}}\)

Setzt du das = 0, brauchst du nur den Zähler zu betrachten, da der Nenner nicht null werden darf.

Gruß, Silvia

Answer 3

Hallo

für Nullstellen immer auf einen Nenner bringen , das führt auf eine sehr einfache Gleichung. und dann den Zähler=0 setzen,  (oder mit allen Nenner die Gleichung multipliziere hier also mit 2*√(9-x) ≠0 multiplizieren ) das führt auf eine sehr einfache Gleichung

Gruß lul

Answer 4

Hallo,

Forme die 1. Ableitung vor dem Berechnen um, bilden Hauptnenner, dann wird es viel einfacher.