Ungleichung zeigen zu rekursiver Folge

Question

Aufgabe:

Man hat diese rekursive Gleichung: x_n+1 = 1+1/x_n

Gezeigt werden soll : |x_n+1 - x_n| ≤ 4/9 |x_n − x_n−1| für n > 1

Man kann benutzen, dass inf x_n = 3/2 ist.

Comments

Man kann benutzen, dass inf xn = 3/2 ist.

Das würde ich schon mal schön sein lassen.Diese Aussage ist schon falsch, wenn der Startwert kleiner als 3/2 ist.

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Das Infimum wird aber spätestens ab \(n=2\) richtig. Daher soll die Ungleichung auch für \(n>1\) gezeigt werden. Von daher ist alles gut.

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Hallo nochmal, man hat jetzt dazu noch die Folge $$x_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$$. Wobei F_n die Fibonacci-Folge ist, also F_n+2 = F_n+1 + F_n .

Aus der gerade berechneten Ungleichung soll man folgern, dass x_n konvergiert.

Da steh ich echt auf dem Schlauch wie ich das machen sollte.

Answer 1

Aloha :)

$$x_{n+1}-x_n=\left(1+\frac{1}{x_n}\right)-\left(1+\frac{1}{x_{n-1}}\right)=\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}}=\frac{x_{n-1}-x_n}{x_n\cdot x_{n+1}}\implies$$$$\left|x_{n+1}-x_n\right|=\frac{1}{|x_n\cdot x_{n+1}|}\cdot\left|x_n-x_{n-1}\right|$$

Mit der Verwendung des gegebenen Infimums für \(n>1\) ist \(x_n\ge\frac{3}{2}\) und \(x_{n+1}\ge\frac{3}{2}\)$$\left|x_n\cdot x_{n+1}\right|\ge\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\implies\frac{1}{\left|x_n\cdot x_{n+1}\right|}\le\frac{4}{9}$$

Damit folgt auch schon die Behauptung:$$\left|x_{n+1}-x_n\right|\le\frac{4}{9}\cdot\left|x_n-x_{n-1}\right|\quad\text{für}\quad n>1$$

Comments

Danke für die Antwort, ich verstehe aber noch nicht so genau, wie man von

1/x_{n *} x_n+1 ≤ 4/9 auf die Behauptung schließen kann.

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$$\left|x_{n+1}-x_n\right|=\underbrace{\frac{1}{\left|x_n\cdot x_{n+1}\right|}}_{\le\frac{4}{9}}\cdot\left|x_n-x_{n+1}\right|$$

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Aber die Behauptung ist doch $$ |x_{n+1} -x_n| \leq \frac{4}{9}|x_n - x_{n-1}|$$

In der ersten Zeile deiner Antwort hast du noch $$\frac{x_{n-1}- x_n}{x_n*x_{n+1}}$$

stehen. Beim Anwenden des Betrags steht dann  $$\frac{1}{|x_n*x_{n+1}|} * |x_n-x_{n+1}|$$ da. Müsste es nicht $$\frac{1}{|x_n*x_{n+1}|} * |x_{n-1}-x_{n}|$$ sein?

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Achso... jetzt versehe ich, was dich stört. Es gilt doch:$$(x_n-x_{n+1})=-(x_{n+1}-x_n)$$Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung den Betrag nehmen, fällt rechts das Minuszeichen weg:$$|x_n-x_{n+1}|=|x_{n+1}-x_n|$$Mit einem Zahlenbeispiel wird das vielleicht klarer: |4-3|=|3-4|.

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Das war es eigentlich nicht, was mich stört, sondern:

$$ \frac{1}{|x_n*x_{n+1}|} * |x_n - x_ { \textbf {n+1}}|$$

$$ \frac{1}{|x_n*x_{n+1}|} * |x_n - x_ { \textbf {n-1}}|$$

Also die Indizes. War das so mit Absicht? Und was davon ist richtig?

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Stimmt, ich habe eine Copy-Paste-Fehler gemacht. Wenn du dir die Rechnung in der ersten Zeile ansiehst, siehst du, dass das zweite richtig ist. Ich korrigiere das noch schnell in meiner Antwort.

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Perfekt danke, das hat mich etwas verwirrt.