Bestimmen sie den Inhalt der Fläche, die die beiden Wendetangenten mit der x-Achse einschließen.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit

f(x)= 1/24 x⁴ - x² + 10/3

Bestimmen sie den Inhalt der Fläche, die die beiden Wendetangenten mit der x-Achse einschließen. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise mithilfe einer geeigneten Skizze.

Problem/Ansatz:

Ich weiß gaaarnicht wie ich diese Aufgabe rechnen soll. Könnte mir da jemand helfen, bitte?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Da wir die Fläche bestimmen sollen, die die beiden Wendetangenten mit der $x$-Achse einschließen, brauchen wir natürlich zuerst die Formeln für diese Wendetangenten. Für deren Berechnung brauchen wir ein paar Ableitungen:$$f(x)=\frac{1}{24}x^4-x^2+\frac{10}{3}\;;\; f'(x)=\frac{1}{6}x^3-2x\;;\; f''(x)=\frac{1}{2}x^2-2\;;\;f'''(x)=x$$Kandidaten für Wendepunkte finden wir dort, wo die 2-te Ableitung zu Null wird:$$0\stackrel!=f''(x)=\frac{1}{2}x^2-2=\frac{1}{2}(x^2-4)=\frac{1}{2}(x+2)(x-2)$$$$\implies x_{w1}=-2\;;\;x_{w2}=+2$$Wegen $f'''(-2)=-2\ne0$ und $f'''(2)=2\ne0$ sind das nicht nur Kandidaten für Wendepunkte, sondern tatsächliche Wendepunkte.

Als nächstes brauchen wir die Tangenten an die Funktion $f(x)$ bei den Wengepunkten. Dazu setzen wir die $x$-Werte der Wendepunkte in die Tangentengleichung ein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\quad(\text{allgemeine Tangentengleichung})$$$$t_1(x)=f(-2)+f'(-2)\cdot(x-(-2))=0+\frac{8}{3}\cdot(x+2)\underline{=\frac{8}{3}\cdot x+\frac{16}{3}}$$$$t_2(x)=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)=0-\frac{8}{3}\cdot(x-2)\underline{=-\frac{8}{3}\cdot x+\frac{16}{3}}$$

Bevor wir nun die gesuchte Fläche bestimmen, lassen wir uns die Situation mal plotten:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x⁴/24-x²+10/3f₂(x) = 8/3·x+16/3f₃(x) = -8/3·x+16/3Zoom: x(-4…4) y(-3…6)

Die gesuchte Fläche ist offenbar ein Dreieck. Auf der $x$-Achse reicht es von $x=-2$ bis nach $x=2$, also ist seine Breite $4$ Längeneinheiten. Seine Höhe ermitteln wir aus den Funktionswerten der beiden Tangenten bei $x=0$, also $t_1(0)=t_2(0)=\frac{16}{3}$. Beide Tangenten liefern dasselbe Ergebnis, sodass wir sicher sein können, den richtigen Schnittpunkt zu verwenden. Die Fläche des Dreiecks ist also:$$F=\frac{1}{2}\cdot\text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$

Hat dir das weitergeholfen? Wenn du noch Fragen hast, bitte in den Kommentaren melden.

Comments

Vielen lieben Dank! Das hat mir enorm weiter geholfen!

Answer 2

Berechne die Wendepunkte.

Berechne die Funktionsgleichungen der Tangenten an den Wendpunkten. Das sind die Wendetangenten.

Wendetangenten und x-Achse bilden ein Dreieck. Bestimme in diesem Dreieck die für die Berechnung des Flächeninhalts notwendigen Angaben. Dabei könnte es hilfreich sein, den Schnittpunkt der Wendetangenten und die Nullstellen der Wendetangenten zu berechnen.

Setze die für die Berechnung des Flächeninhalts notwendigen Angaben in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ein.

Answer 3

Eine Skizze könnte wie folgt aussehen

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/24x⁴-x²+10/3f₂(x) = -8/3(x-2)f₃(x) = 8/3(x+2)Zoom: x(-5…5) y(-3…6)

Die Fläche des Dreiecks zu bestimmen sollte nicht so schwer sein.