Zeigen Sie: abelsche Gruppe

Question

Aufgabe: Es sei G eine Gruppen. Zeigen Sie:

1. Gilt g^2=1 für alle g∈G, so ist G abelsch.

Kann mir da einer helfen? Mich verwirrt das g^2=1.

Comments

Vielleicht hilft

\(\begin{aligned} &  & g^{2} & =1\\ & \implies & g\cdot g & =1\\ & \implies & \left(g\cdot g\right)\cdot g^{-1} & =1\cdot g^{-1}\\ & \implies & g\cdot\left(g\cdot g^{-1}\right) & =1\cdot g^{-1}\\ & \implies & g\cdot1 & =1\cdot g^{-1}\\ & \implies & g & =g^{-1} \end{aligned}\)

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Tut mir sehr leid für späte Antwort, aber ja das hat mir geholfen!

Answer 1

\(\begin{aligned} &  & \left(a\cdot b\right)^{2} & =1\\ & \implies & \left(a\cdot b\right)\cdot\left(a\cdot b\right) & =1\\ & \implies & \left(a\cdot b\right)\cdot\left(a\cdot b\right)\cdot b^{-1} & =b^{-1}\\ & \implies & \left(a\cdot b\right)\cdot a & =b^{-1}\\ & \implies & \left(a\cdot b\right)\cdot a\cdot a^{-1} & =b^{-1}\cdot a^{-1}\\ & \implies & a\cdot b & =b^{-1}\cdot a^{-1}\\ & \implies & a\cdot b & =b\cdot a \end{aligned}\)

Comments

Ich muss aber bei einer abelschen Gruppe auch zeigen, dass es ein Neutralelement gibt, ein Inverses und assoziaitivgesetz sowie abgeschlossenheit und kommutativgesetz oder?

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G ist laut Voraussetzung eine Gruppe und erfüllt damit die von dir genannten Axiome.

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Achsoo okay, also Ihr erster Beweis ist der Ansatz, den man bei der Aufgabe haben sollte oder?

Answer 2

ich denke mal, dass nur -1 und +1 in der Gruppe sind; und du musst jetzt die verschiedenen Gesetze für abelsche Gruppe zeigen.