Aufgabe: Es sei G eine Gruppen. Zeigen Sie:
1. Gilt g2=1 für alle g∈G, so ist G abelsch.
Kann mir da einer helfen? Mich verwirrt das g2=1.
Vielleicht hilft
g2=1 ⟹ g⋅g=1 ⟹ (g⋅g)⋅g−1=1⋅g−1 ⟹ g⋅(g⋅g−1)=1⋅g−1 ⟹ g⋅1=1⋅g−1 ⟹ g=g−1\begin{aligned} & & g^{2} & =1\\ & \implies & g\cdot g & =1\\ & \implies & \left(g\cdot g\right)\cdot g^{-1} & =1\cdot g^{-1}\\ & \implies & g\cdot\left(g\cdot g^{-1}\right) & =1\cdot g^{-1}\\ & \implies & g\cdot1 & =1\cdot g^{-1}\\ & \implies & g & =g^{-1} \end{aligned}⟹⟹⟹⟹⟹g2g⋅g(g⋅g)⋅g−1g⋅(g⋅g−1)g⋅1g=1=1=1⋅g−1=1⋅g−1=1⋅g−1=g−1
Tut mir sehr leid für späte Antwort, aber ja das hat mir geholfen!
(a⋅b)2=1 ⟹ (a⋅b)⋅(a⋅b)=1 ⟹ (a⋅b)⋅(a⋅b)⋅b−1=b−1 ⟹ (a⋅b)⋅a=b−1 ⟹ (a⋅b)⋅a⋅a−1=b−1⋅a−1 ⟹ a⋅b=b−1⋅a−1 ⟹ a⋅b=b⋅a\begin{aligned} & & \left(a\cdot b\right)^{2} & =1\\ & \implies & \left(a\cdot b\right)\cdot\left(a\cdot b\right) & =1\\ & \implies & \left(a\cdot b\right)\cdot\left(a\cdot b\right)\cdot b^{-1} & =b^{-1}\\ & \implies & \left(a\cdot b\right)\cdot a & =b^{-1}\\ & \implies & \left(a\cdot b\right)\cdot a\cdot a^{-1} & =b^{-1}\cdot a^{-1}\\ & \implies & a\cdot b & =b^{-1}\cdot a^{-1}\\ & \implies & a\cdot b & =b\cdot a \end{aligned}⟹⟹⟹⟹⟹⟹(a⋅b)2(a⋅b)⋅(a⋅b)(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅b−1(a⋅b)⋅a(a⋅b)⋅a⋅a−1a⋅ba⋅b=1=1=b−1=b−1=b−1⋅a−1=b−1⋅a−1=b⋅a
Ich muss aber bei einer abelschen Gruppe auch zeigen, dass es ein Neutralelement gibt, ein Inverses und assoziaitivgesetz sowie abgeschlossenheit und kommutativgesetz oder?
G ist laut Voraussetzung eine Gruppe und erfüllt damit die von dir genannten Axiome.
Achsoo okay, also Ihr erster Beweis ist der Ansatz, den man bei der Aufgabe haben sollte oder?
ich denke mal, dass nur -1 und +1 in der Gruppe sind; und du musst jetzt die verschiedenen Gesetze für abelsche Gruppe zeigen.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos
