Heine-Borel Beschränktheit zeigen

Question

Satz 3.7 (Satz von Heine-Borel). Eine Menge \( K \subset \mathbb{R}^{n} \) ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen
und beschränkt ist.

Beweis. Sei \( K \subset \mathbb{R}^{n} \) kompakt. Nach Lemma \( 3.5 \) ist \( K \subset \mathbb{R}^{n} \) abgeschlossen. Da \( K \subset \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) \) eine offene Überdeckung von \( K \) bildet, existiert ein \( k_{0} \in \mathbb{N} \) mit \( K \subset B_{k_{0}}(0) \). Also ist \( K \) auch beschränkt.

Könnte mir jemand in Worten erklären, warum genau K beschränkt ist und wieso ich diese Annahmen stellen kann ?

Answer 1

warum genau K beschränkt ist

K ist beschränkt, weil eine Kugel existiert, die Obermenge von K ist.

wieso ich diese Annahmen stellen kann ?

Dass K beschränkt ist, ist keine Annahme, sondern eine Schlussfolgerung aus o.g. Tatsache.

Comments

Mit der Annahme meine ich, woher ich weiss, dass diese Kugel als Obermenge existiert?

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Die Kugel existiert, weil \( \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) \) eine offene Überdeckung von \( K \) bildet.

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und das ist wiederum so, weil K nach Annahme kompakt ist oder?

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Ja.

Aber um ehrlich zu sein weiß ich nicht genau, was du mit kompakt meinst. Ich vermute "Jede offene Überdeckung enthält eine endliche Teilüberdeckung." Außerdem weiß ich nicht, was \(\mathbb{N}^*\) ist. Da habe ich noch nicht ein mal eine Vermutung. Wenn du mir sagst, was \(\mathbb{N}^*\) ist, dann finde ich aber bestimmt heraus warum K beschränkt ist.

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ja genau das meine ich mit kompakt und mit N* sind der positiven ganzen Zahlen ohne 0 gemeint

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Dann stellt sich doch eigentlich nur noch die Frage, warum \( \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) \) tatsächlich eine offene Überdeckung von K ist, oder?

\( \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) \) ist eine offene Überdeckung von K, weil die \(B_{k}(0)\) offen sind und \( \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) = \mathbb{R}^n\) ist.