Die Frage was sollte man daraus sehen?

Question

Aufgabe:

∑Berechne:

\( \sum \limits_{j=0}^{6} \sum \limits_{k=1}^{4} \frac{(-1)^{j} k^{2} 6 ! 6^{6} 4^{j}}{j ! 6^{j}(6-j) !} \)

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich bin seit einer Weile dran. Ich hab das K rausgenommen und erstmal nur den Term mit j untersucht, in dem ich es nach Potenzen und Fakultäten sortiert habe. Habe alles dann ausgerechnet und die Teilergebnisse addiert.

Soweit bisher:

k^2=24

24(6⁶+\( \frac{-2}{3} \)*6*6⁶+\( \frac{4}{9} \)*15*6⁶+\( \frac{-8}{27} \)*20*6⁶+\( \frac{16}{72} \)*15*6⁶+\( \frac{-32}{216} \)*6*6⁶+\( \frac{64}{648} \)*0*6⁶)

Ich gehe davon aus, dass das doch einfacher gehen muss. Die Frage was sollte man daraus sehen? Oder wie wäre der richtige Ansatz

Ich weiß auch nicht ob das bisherige Ergebnis richtig ist.

Comments

Danke euch beiden :)

Answer 1

\( \sum \limits_{j=0}^{6}\left(\sum \limits_{k=1}^{4} \frac{(-1)^{j} k^{2} 6 ! \cdot 6^{6} \cdot 4^{j}}{j ! 6^{j}(6-j) !}\right)=1920 \)

Rechnung:

\(\sum \limits_{k=1}^{4} k^{2} =30\)

\( \sum \limits_{j=0}^{6}\left(\frac{(-1)^{j} 6 ! \cdot 6^{6} \cdot 4^{j}}{j ! 6^{j}(6-j)!}\right)\\=   6^6\cdot \sum \limits_{j=0}^{6}\left(\frac{(-2)^{j}  }{3^{j}}\binom 6 j\right) \\=    2^6*3^6*(1-4 + 4/9*15-8/27*20+16/81*15-32/243*6+64/729)  \\= 64*729*(1-4 + 4/9*15-8/27*20+16/81*15-32/243*6+64/729) \\=    64*(729-4*729+ 4*15*81-8*20*27+16*15*9-32*6*3+64) \\=64\)

30*64=1920

:-)

Answer 2

Hallo

 1. schreib nie sie was wie k^2=24 wenn das nicht k^2 ist, du meinst ∑k^2=24, das ist falsch, rechne nach!

2. bei der Summe über j kann man erstmal 6!*6^6 aus der Summe rausziehen, den Rest muss man wohl rechnen  ich würde sowas schnell im Exel oder entsprechend werfen.

Gruß lul