Wie zeigt man folgende Funktion als O-Notation?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

b) Gegeben \( f(n)=\log \left(n^{2}\right) \), zeigen Sie: \( f(n)=O(\log (n)) \)

Answer 1

Hallo :-)

Du musst doch noch ein Logarithmusgesetz hier anwenden:

\(f(n)=\log(n^2)=2\cdot \log(n)\)

Mit \(n_0=1\) und \(\alpha=2\) ist also für alle \(n\geq 1\)

\(0\leq f(n)=\alpha\cdot \log(n)\)

Gleiche das mal mit der Definition zur O-Notation ab:

Es sei \(g: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\). Dann ist$$ \mathcal{O}(g):=\{f:\ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}:\ \exists \alpha>0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n\geq n_0:\ \underbrace{0\leq f(n) \leq \alpha \cdot g(n)}_{0\leq f(n) \ \land f(n)\leq \alpha\cdot g(n) }  \} $$

Answer 2

Hallo,

log(n²) = 2log(n) und das ist Element von O(log(n)).