T ( x ) = ( - 1 / 2 ) ( x 2 - 5 x + 11 )
Erste Ableitung bilden:
T ' ( x ) = ( - 1 / 2 ) ( 2 x - 5 ) = - x + 2,5
Diese gleich Null setzen:
T ' ( x ) = 0
<=> - x + 2,5 = 0
<=> x = 2,5
Höchstens and dieser Stelle x = 2,5 liegt eine Extremstelle vor.
Den Nachweis, dass dort eine Extremstelle vorliegt, erbringt man mit der zweiten Ableitung T ' ' ( 2,5 ). Hat diese einen Wert ungleich Null, dann liegt eine Extremstelle vor, nämlich ein Maximum, wenn dieser Wert negativ ist, andernfalls ein Minimum.
Hat die zweite Ableitung T ' ' ( x ) an der Stelle x = 2,5 hingegen den Wert Null, dann müssen weitere Untersuchungen durchgeführt werden.
Es ist:
T ' ' ( x ) = - 1
Die zweite Ableitung hat also überall den Wert - 1 , insbesondere an der Stelle x = 2,5. Also liegt dort tatsächlich ein Maximum vor,
An der Extremstelle x = 2,5 hat T ( x ) den Extremwert
T ( 2,5 ) = ( - 1 / 2 ) ( 2,5 2 - 5 * 2,5 + 11 ) = - 2,375