T(x)=-1/2(x^2-5x+11)

Question

Bestimme den Extremwert und die zugehörige Belegung der Variablen!

T(x) = - ¹₂ (x² - 5x + 11)

Answer 1

Hi,

T'(x) = -x+2,5

Für x = 2,5 gibt es einen Extrempunkt (mit überprüfen der zweiten Ableitung ergibt sich ein Maximum).

Dies ist an der Stelle T(2,5) = -19/8 = -2,375 (also P(2,5|-2,375)) zu finden.

Hätte man auch ohne Ableiten mittels Scheitelpunktform gefunden.

Grüße

Comments

also P(-2,5|-2,375)

Ein Minus zuviel ...

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Merci ;)          .

Answer 2

T ( x ) =  ( - 1 / 2 ) ( x ² - 5 x  + 11 )

Erste Ableitung bilden:

T ' ( x ) = ( -  1 / 2 ) ( 2 x - 5  ) = - x + 2,5

Diese gleich Null setzen:

T ' ( x ) = 0

<=> - x + 2,5 = 0

<=> x = 2,5 

Höchstens and dieser Stelle x = 2,5 liegt eine Extremstelle vor.

Den Nachweis, dass dort eine Extremstelle vorliegt, erbringt man mit der zweiten Ableitung T ' ' ( 2,5 ). Hat diese einen Wert ungleich Null, dann liegt eine Extremstelle vor, nämlich ein Maximum, wenn dieser Wert negativ ist, andernfalls ein Minimum.
Hat die zweite Ableitung T ' ' ( x ) an der Stelle x = 2,5 hingegen den Wert Null, dann müssen weitere Untersuchungen durchgeführt werden.

Es ist:

T ' ' ( x ) = - 1

Die zweite Ableitung hat also überall den Wert - 1 , insbesondere an der Stelle x = 2,5. Also liegt dort tatsächlich ein Maximum vor,

 

An der Extremstelle x = 2,5 hat T ( x ) den Extremwert

T ( 2,5 ) = ( - 1 / 2 ) ( 2,5 ² - 5 * 2,5 + 11 ) = - 2,375