Aloha :)
Sowohl für \(x=-3\) als auch für \(x=-5\) lautet die Funktion$$f(x)=-4|x+3|$$
1) Ableitung bei \(x=-3\)
Um die Betragszeichen auflösen zu können, betrachten wir beim Differentialqotienten den Grenzwert gegen \(-3\) wenn wir uns von links nähern und wenn wir uns von rechts nähern. Wenn wir uns von links nähern, ist \(x<-3\) und damit \(f(x)=4(x+3):\)$$\lim\limits_{x\nearrow(-3)}\frac{f(x)-f(-3)}{x-(-3)}=\lim\limits_{x\nearrow(-3)}\frac{4(x+3)-0}{x+3}=\lim\limits_{x\nearrow(-3)}\frac{4(x+3)}{x+3}=4$$Wenn wir uns von rechts nähern, ist \(x>-3\) und damit \(f(x)=-4(x+3)\):$$\lim\limits_{x\searrow(-3)}\frac{f(x)-f(-3)}{x-(-3)}=\lim\limits_{x\searrow(-3)}\frac{-4(x+3)-0}{x+3}=\lim\limits_{x\searrow(-3)}\frac{-4(x+3)}{x+3}=-4$$
Der linksseitige und der rechtseitige Grenzwert des Differentialquotienten sind unterschiedlich. Daher ist die Funktion an der Stelle \(x=-3\) nicht differenzierbar.
2) Ableitung bei \(x=-5\)
Hier haben wir mit den Betragszeichen keine Probleme, da wir für \(x=-5\) beim linksseitigen und beim rechtsseitigen Grenzwert als Funktion \(f(x)=4(x+3)\) ansetzen können.
$$\lim\limits_{x\nearrow(-5)}\frac{f(x)-f(-5)}{x-(-5)}=\lim\limits_{x\nearrow(-5)}\frac{4(x+3)+8}{x+5}=\lim\limits_{x\nearrow(-5)}\frac{4x+20}{x+5}=\lim\limits_{x\nearrow(-5)}\frac{4(x+5)}{x+5}=4$$$$\lim\limits_{x\searrow(-5)}\frac{f(x)-f(-5)}{x-(-5)}=\lim\limits_{x\searrow(-5)}\frac{4(x+3)+8}{x+5}=\lim\limits_{x\searrow(-5)}\frac{4x+20}{x+5}=\lim\limits_{x\searrow(-5)}\frac{4(x+5)}{x+5}=4$$Hier sind der links- und der rechtsseitige Grenzwert gleich, also ist die Funktion bei \(x=-5\) differenzierbar und es ist \(f'(-5)=4\).
