0 Daumen
477 Aufrufe

Gegeben ist die Funktion

f(x) = { -4|x+3|     x<0

          ax²+bx+c x ≥ 0

Bestimmen Sie die Ableitung von f an der Stelle x=-5 sowie an der Stelle x = -3

Ich weiss leider gar nicht wie das geht.

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Sowohl für \(x=-3\) als auch für \(x=-5\) lautet die Funktion$$f(x)=-4|x+3|$$

1) Ableitung bei \(x=-3\)

Um die Betragszeichen auflösen zu können, betrachten wir beim Differentialqotienten den Grenzwert gegen \(-3\) wenn wir uns von links nähern und wenn wir uns von rechts nähern. Wenn wir uns von links nähern, ist \(x<-3\) und damit \(f(x)=4(x+3):\)$$\lim\limits_{x\nearrow(-3)}\frac{f(x)-f(-3)}{x-(-3)}=\lim\limits_{x\nearrow(-3)}\frac{4(x+3)-0}{x+3}=\lim\limits_{x\nearrow(-3)}\frac{4(x+3)}{x+3}=4$$Wenn wir uns von rechts nähern, ist \(x>-3\) und damit \(f(x)=-4(x+3)\):$$\lim\limits_{x\searrow(-3)}\frac{f(x)-f(-3)}{x-(-3)}=\lim\limits_{x\searrow(-3)}\frac{-4(x+3)-0}{x+3}=\lim\limits_{x\searrow(-3)}\frac{-4(x+3)}{x+3}=-4$$

Der linksseitige und der rechtseitige Grenzwert des Differentialquotienten sind unterschiedlich. Daher ist die Funktion an der Stelle \(x=-3\) nicht differenzierbar.

2) Ableitung bei \(x=-5\)

Hier haben wir mit den Betragszeichen keine Probleme, da wir für \(x=-5\) beim linksseitigen und beim rechtsseitigen Grenzwert als Funktion \(f(x)=4(x+3)\) ansetzen können.

$$\lim\limits_{x\nearrow(-5)}\frac{f(x)-f(-5)}{x-(-5)}=\lim\limits_{x\nearrow(-5)}\frac{4(x+3)+8}{x+5}=\lim\limits_{x\nearrow(-5)}\frac{4x+20}{x+5}=\lim\limits_{x\nearrow(-5)}\frac{4(x+5)}{x+5}=4$$$$\lim\limits_{x\searrow(-5)}\frac{f(x)-f(-5)}{x-(-5)}=\lim\limits_{x\searrow(-5)}\frac{4(x+3)+8}{x+5}=\lim\limits_{x\searrow(-5)}\frac{4x+20}{x+5}=\lim\limits_{x\searrow(-5)}\frac{4(x+5)}{x+5}=4$$Hier sind der links- und der rechtsseitige Grenzwert gleich, also ist die Funktion bei \(x=-5\) differenzierbar und es ist \(f'(-5)=4\).

Avatar von 152 k 🚀

Hi Tschakabumba!^^ Vielen Dank für deine super ausführliche Antwort.

Ich habe aber noch eine kleine Unklarheit. Warum gilt denn für x = -5, bei dem rechtseitige Grenzwert ( x > -5) ebenfalls 4(x+3)? Bei x= -4 wäre klar, da gilt der Betrag als negativ und es folgt 4(x+3), bei x = -2. würde ja aber wieder -4(x+3) gelten?

Wir lassen ja \(x\searrow-5\) von oben her gegen \(-5\) laufen. Die Betragszeichen können wir schon für \(x\le-3\) weglassen:$$f(x)=-4|x+3|=4(x+3)\quad;\quad\text{falls } x\le-3$$

Wir haben also rechts von \(-5\) ein Intervall \([-5;-3]\), von dem aus wir uns der \(-5\) nähern können. Dieses Intervall sieht zwar klein aus, enthält aber trotzdem unendlich viele Werte für \(x\). Daher haben wir genügend "Platz", um uns von rechts der \(-5\) anzunähern.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community