Zeigen Sie, dass p nicht als Summe von zwei Quadraten von ganzen Zahlen geschrieben werden kann, d.h.

Question

Aufgabe:

1) Sei p ∈ N eine Zahl mit p ≡ 3 mod 4. Zeigen Sie, dass p nicht als Summe von zwei Quadraten von ganzen Zahlen geschrieben werden kann, d.h. es gibt keine ganzen Zahlen a, b ∈ Z mit p= a²+ b² 

Hinweis: Überlegen Sie zunächst, welche Werte die Restklasse einer Quadratzahl
in Z/4 haben kann.

2) Finden Sie eine Primzahl p mit 500 < p < 1000, so dass p ≡ 1 mod 4 gilt.
Finden Sie dann a, b ∈ Z mit p = a^2+ b^2 

Comments

Du findest die Primzahlen von 500 bis 1000 hier. Tatsächlich lässt sich jede(!) Primzahl \(p\) im Bereich von 500 bis 1000 mit \(p \equiv 1 \mod 4\) als (eindeutige!) Summe zweier Quadratzahlen schreiben.

Answer 1

Aufgabe (1):

Überlege dir einfach zuerst mal folgende möglichen Fälle:

(1.) a und b sind beide gerade

(2.) a und b sind beide ungerade

(3.) Von den Zahlen a und b ist die eine gerade und die andere ungerade

Betrachte unter diesen Voraussetzungen jeweils den Rest von a² + b²  modulo 4 .

Answer 2

Hallo

1_ da p ungerade muss a^2 oder b^2 gerade los 0mod 4 sein dann b^2 3mod 4 und dann nimm den Tip .

2 . nimm ne Primzahllisteals erstes findest du 509, dann sieht man direkt dass a nicht 1,2,3, sein kann probiert die 2 nächsten aus und findet ein a und damit auch b.

Gruß lul