Vereinfachen Sie folgendene Terme: ln(2x)+ln(3x)-ln(x^2)-ln(6)

Question

Vereinfachen Sie Folgende Ausdrücke und geben Sie gegebenfalls einen möglichst großen Definitionsbereich an.

\( \frac{1}{2} \log _{2}\left(4 e^{2}\right)-(\ln 2)^{-1} \)

\( \ln \left(x^{\frac{3}{2}}\right)-\ln (\sqrt[3]{x^{-4}} ) \)

\( \ln (2 x)+\ln (3 x)-\ln \left(x^{2}\right)-\ln (6) \)

Comments

ln(2*x) + ln(3*x)- ln(x^2) - ln(6)
ln(2) + ln(x) + ln(3) * ln(x) - 2*ln(x) - ln(6)
ln(x)+ln(x)-2*ln(x) + ln(2) + ln(3) - ln(6) l ln(x) hebt sich auf
ln(2 * 3 ) - ln(6);
ln(6/6) = ln(1) = 0

ln( x^{2/3} ) - ln( x^{-4/3} )
2/3 * ln(x) - (-4/3) * ln(x)
6/3 * ln(x) = 2 * ln(x)

Answer 1

a) 1/2 log_2 (4e^2) - (ln2)^{-1}

= log_2 (4e^2)^{1/2} - 1/ln2
=log_2 (2e) - 1/ln2
= log_2 (2) + log_2 (e) - 1/ln2

= 1 + lne/ln2 - 1/ln2

= 1 + 1/ln2 -1/ln2 = 1

D = IR resp. irrelevant, da gar kein x vorkommt.

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+1%2F2+log_2+%284e%5E2%29+-+%28ln2%29%5E%28-1%29

b) ln(x^{3/2}) - ln ( ³√(x^{-4})) 

= 3/2 lnx - ln(x^{-4/3}) 

= 3/2 lnx + 4/3 lnx

= (9/6 + 8/6) lnx
=17/6 lnx

D = IR⁺

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+ln%28x%5E%283%2F2%29%29+-+ln+%28+%28x%5E%28-4%2F3%29%29%29

c) ln(2x)+ln(3x)-ln(x²)-ln(6) = ln(2) + ln(x) + ln(3) + ln(x) -2ln(x) - ln(2) - ln(3) = 0

D = IR⁺