Zeigen einer monoton steigenden/fallenden Nullfolge

Question

Aufgabe:

$$ \text{Gezeigt werden muss, dass die Folge  } a_k = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k}}\text{ eine monoton steigende oderfallende Nullfolge ist.}$$

Problem/Ansatz:

$$ \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k}} = \frac{\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} - \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}}}{\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}}} = \frac{\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} - 1}{1}$$

$$ \text{Weiter bin ich nicht gekommen, man muss aber irgendwie noch zeigen, dass }\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} \text{gegen 1 konvergiert.} $$

Dann muss man ja auch noch zeigen, dass sie monoton steigend/fallend ist.

Answer 1

Hallo

erweitere mit der Summe des Zählers (3. Binom) und man sieht sofort, dass der Nenner mit wachsendem w wächst. die Folge also fallend ist

Was du gegen 1 willst ist √(1+1/k) dann sieht man es , das braucht man aber nicht mit dem Vorschlag oben.

Gruß lul