Eigenwerte 4x4 matrix bestimmen

Question

hey, ich habe bei dieser Matrix versucht die Eigenwerte zu berechenen.

Da es ja eine 4x4 matrix ist, habe ich nach LaPlace entwickelt (1. Spalte). Aber ich habe keinen Eigenwert t herausbekommen, da das t immer weggefallen ist. Meine Lösung ist -1. Also habe ich wohl die Determinante ausgerechnet.

Irgendwelche Ideen wie ich an die EW komme? Gibt es da ein anderes Verfahren, dass ich benutzen muss, oder hat die Matrix einfach keine?

Text erkannt:

Sei \( A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \in M(4 \times 4, \mathbb{C}) . \)

Answer 1

Hallo

dein Eigenwert -1 ist richtig, was du  über t immer wegfallen sagst verstehe ich nicht, es fallen viele der t weg, aber eben nicht alle.

sonst schreib mal deine Entwicklung auf.

Gruß lul

Comments

ok, hab meinen Fehler gefunden, hatte irgendwo ein t vergessen. Aber sind meine EW's dann nicht 1 und -1?

Weil ich hab ja dann raus: 0=(-t)^4 -1

Also kann ich ja für t 1 und -1 einsetzen durch die hoch 4 wird das ja dann beides zu 1?

und theoretisch da es im C^4 könnte ich doch noch -i als EW nehmen

Answer 2

Aloha :)

Die Matrix hat auf jeden Fall den Eigenwert \(1\), weil die Summe in jeder Spalte gleich \(1\) ist. Wir wissen auch, dass die Summe aller Eigenwerte \(0\) sein muss, weil die Summe auf der Hauptdiagonalen \(0\) ist. Also muss es neben dem Eigenwert \(1\) noch weitere geben. Zur Bestimmung der Eigenwerte \(\lambda\) lösen wir die charakteristischen Gleichung:

$$0=\operatorname{det}\begin{pmatrix}-\lambda & 1 & 0 & 0\\0 & -\lambda & 1 & 0\\0 & 0 & -\lambda & 1\\1 & 0 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^4-1$$Damit haben wir folgende Eigenwerte:$$0=\lambda^4-1=(\lambda^2-1)(\lambda^2+1)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-i)(\lambda+i)$$$$\implies\quad\lambda_1=1\;;\;\lambda_2=-1\;;\;\lambda_3=i\;;\;\lambda_1=-i$$

Comments

Vielen Dank für die Hilfe.

Hab die Aufgabe auch soweit fertig nur hänge ich noch etwas beim letzten Teil.

"d) Geben Sie eine Formel für A^n , n element Z an und beweisen Sie diese."

hier verstehe ich allerdings nicht was genau von mir verlangt wird. Hast du vielleicht eine Idee?