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Aufgabe:

Ich soll die folgende DGL mithilfe der Trennung von Variablen lösen. Allerdings komme ich am Ende nicht auf die richtige Lösung (rot eingekreist). Könnte mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe?


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Aloha :)

$$\left.y'(x)+2x^{-2}y^2=0\quad\right|-2x^{-2}y^2$$$$\left.y'(x)=-2x^{-2}y^2\quad\right|y'(x)=\frac{dy}{dx}$$$$\left.\frac{dy}{dx}=-2x^{-2}y^2\quad\right|\cdot\frac{dx}{y^2}$$$$\left.\frac{dy}{y^2}=-\frac{2dx}{x^2}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.-\frac{1}{y}=\frac{2}{x}+c=\frac{2}{x}+\frac{cx}{x}=\frac{2+cx}{x}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.-y=\frac{x}{2+cx}\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.y=-\frac{x}{2+cx}\quad\right.$$

Aus der Randbedingung \(y(1)=2\) liefert die Integrationskonstante \(c\):$$2=y(1)=-\frac{1}{2+c}\implies2+c=-\frac{1}{2}\implies c=-\frac{5}{2}$$

Damit lautet die gesuchte Lösung:$$y(x)=-\frac{x}{2-\frac{5}{2}x}=-\frac{2x}{4-5x}$$

Avatar von 152 k 🚀
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Bei Schritt 4 is ein Fehler

y^(-2+1)*1/(-2+1)=1/-1*y^(-1)=-1/y

..=-*2*x^(-2+1)*1/(-2+1)=-2*x^(-1)*1/-1=2*x⁽-1)

-1*y^(-1)=-2*x^(-1)+C

y^(-1)=2*x^(-1)+C/-1

1/y=2/x+C

y=f(x)=1/(2/x+C)

Avatar von 6,7 k
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Hallo Martin.

du hast lediglich in der Mitte der 3. Zeile ein Minuszeichen vergessen :-)

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

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