Aloha :)
$$\left.y'(x)+2x^{-2}y^2=0\quad\right|-2x^{-2}y^2$$$$\left.y'(x)=-2x^{-2}y^2\quad\right|y'(x)=\frac{dy}{dx}$$$$\left.\frac{dy}{dx}=-2x^{-2}y^2\quad\right|\cdot\frac{dx}{y^2}$$$$\left.\frac{dy}{y^2}=-\frac{2dx}{x^2}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.-\frac{1}{y}=\frac{2}{x}+c=\frac{2}{x}+\frac{cx}{x}=\frac{2+cx}{x}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.-y=\frac{x}{2+cx}\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.y=-\frac{x}{2+cx}\quad\right.$$
Aus der Randbedingung \(y(1)=2\) liefert die Integrationskonstante \(c\):$$2=y(1)=-\frac{1}{2+c}\implies2+c=-\frac{1}{2}\implies c=-\frac{5}{2}$$
Damit lautet die gesuchte Lösung:$$y(x)=-\frac{x}{2-\frac{5}{2}x}=-\frac{2x}{4-5x}$$
