Ableiten von einem Produkt von i=0 bis n

Question

Aufgabe:

Ich habe ein Polynom gegeben, welches ich ableiten soll.

Das Polynom ist gegeben als:

w(x) = ∏_i=0 ⁿ(x-x_j)

Ich brauche den Ausdruck w´(x_i)

-> Hat mir jdm einen Tipp, wie ich das ableiten kann? Durch das Produkt weiß ich nicht wie ich da rangehen kann

Answer 1

Hallo,

benutze doch zunächst die Produktregel für das Produkt aus dem ersten Term und dem Rest. Und im folgenden wiederhole dies immer wieder ...$$w(x) = \prod_{j=0}^{n}(x-x_{j}) = (x-x_0) \cdot \prod_{j=1}^{n}(x-x_{j})\\ \begin{aligned} w'(x) &= \prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}) + (x-x_0)\left( \prod_{j=1}^{n}(x-x_{j})\right)' \\ &=  \prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}) + (x-x_0)\left( \prod_{j=2}^{n}(x-x_{j}) + (x-x_1)\left(\prod_{j=2}^{n}(x-x_{j})\right)' \right) \\&= \dots \end{aligned}$$wenn Du Dir nun die einzelnen Summanden ansiehst, so enthält jeder Summand das Produkt exklusiv eines Terms. D.h. man kann dafür schreiben$$w'(x) =  \sum_{k=0}^n \frac{\prod_{j=0}^{n}(x-x_{j})}{x - x_k}$$oder definiere eine Funktion \(d(j,k) = \{0,\,1\}\) mit$$w'(x) =  \sum_{k=0}^n  \prod_{j=0}^{n}(x-x_{j})\cdot d(j,k), \quad d(j,k)= \begin{cases} 1 &\text{für } j \ne k \\ 0 &\text{für } j=k \end{cases} $$Gruß Werner

Comments

Vielen, vielen Dank!

An der Stelle bin ich bei einem Beweis stecken geblieben, jetzt verstehe ich es :)