(aZ,+) isomorph (bZ,+)

Question

Aufgabe:

Sind a,b ∈ ℤ \ {0}, so gilt (aℤ,+) ≅ (bℤ,+).

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist folgendes, ich weiß das ich zeigen soll das die beiden Gruppen isomorph sind. Mir ist bewusst das ich dafür zeigen muss das es ein Gruppenhomomorphismus ist, der zudem bijektiv ist. Jedoch weiß ich nicht wie ich das zeigen soll. Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Grüße

Answer 1

Ein Isomorphismus ist \(\varphi: a\mathbb{Z}\to b\mathbb{Z},x\mapsto \frac{b}{a}x\).

Comments

danke für die schnelle Antwort, das hab ich mir auch schon überlegt, aber wie zeige ich die Bijektivität dieser Abbildung? Da komme ich momentan nicht wirklich weiter.

Grüße

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Injektivität: \(\frac{b}{a}x_1 = \frac{b}{a}x_2 \implies \frac{a}{b}\frac{b}{a}x_1 = \frac{a}{b}\frac{b}{a}x_2\implies x_1 = x_2\).

Surjektivität: \(y\in b\mathbb{Z}\implies \frac{1}{b}y\in \mathbb{Z}\implies \frac{a}{b}y\in a\mathbb{Z}\)