Wie bestimmt man hier den Reihenwert?

Question

Aufgabe:

Wert der Reihe bestimmen

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{3^n-2^n.^-.^1}{4^n.^-.^1}} \)

Problem/Ansatz:

Vielleicht irgendwie den Bruch auseinanderziehen und/oder alles durch den höchsten Wert teilen. Wie man das jetzt aber genau macht bei diesem Bruch weiß ich nicht. Und dann müsste man noch glaube ich den Startwert auf null bringen am Ende und den q-Wert vor die Summe bringen. Könntet ihr mir helfen?

(ignoriert die Punkte die im Bruch stehen, anders konnte ich nicht mehreres in den Exponenten schreiben)

Answer 1

3^n/4^(n-1) = 3^n/2^(2n-2) = 4*(3/4)^n -> Startwert = 4*(3/4)^1 = 3

2^(n-1)/2^(2n-2) = 2/2^n -> Startwert = 2/2^1 = 1

-> Summenwert: 3/(1-3/4) - 2/(1-1/2) = 12-2 = 10

Comments

Direkt am Anfang machst du ja aus 4^(n-1) 2^(2n-2). Was ist das für eine Regel und wann gilt die? Weil wenn ich das mit anderen Zahlen ausprobiere dann geht das mit manchen und mit manchen nicht. Wenn ich also die Basis durch zwei teile und dafür den Exponenten mit zwei multipliziere. Bei 4^5 kommt das selbe raus wie bei 2^2*5

aber bei 8^5 kommt nicht das selbe raus wie bei 4^10.

Insgesamt verstehe ich den Weg nicht ganz. Könntest du den noch etwas genauer erklären?