Reihe auf Konvergenz / absolute Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Überprüfe die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz und begründe die Aussage:

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k•2^k}{3k}}$

Wie löse ich das am besten? Vielen Dank im voraus :)

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cancel{k}\cdot 2^k}{3\cancel{k}}=\frac{1}{3}\sum \limits_{k=1}^{\infty}2^k$$ Es handelt sich bei $\sum \limits_{k=1}^{\infty}2^k$ um eine geometrische Reihe $\sum \limits_{k=1}^{\infty}q^k$, die nur konvergiert, wenn $|q|<1$. Also Divergenz, weil $q=2$ in diesem Fall.

Vorsicht: Wenn du die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\cdot 2^k}{3^k}$ meinst, so konvergiert diese.

Comments

Hallo, ja ich meine die unten stehende Reihe. was meinst du mit Vorsicht? ^^

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Vorsicht, weil die Antwort dann nicht stimmt. Die untere Reihe kannst du mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz untersuchen - ist dir das ein Begriff?

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Ja, das kenne ich, aber wieso konvergiert die Reihe, wenn du davor die Divergenz gezeigt hast? ^^

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Ich zeige die Divergenz von $\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k\cdot 2^k}{3k}$. Mit dem Wurzelkriterium zeigt man die Konvergenz von $\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k\cdot 2^k}{3^k}$. Das sind zwei verschiedene Reihen, weil du das falsch abgetippt hast: Einmal $3k$ im Nenner und einmal $3^k$.

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Sorry, das habe ich gar nicht gesehen.. ich meinte tatsächlich 3^k. Danke für deine schnelle Hilfe :)

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Du brauchst lediglich das Wurzelkriterium und solltest wissen, dass $\sqrt[k]{k}\xrightarrow{k\to \infty} 1$ ist.

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Wie wende ich denn konkret in diesem Beispiel das Wurzelkriterium an?

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$$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{k\cdot 2^k}{3^k}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{k}\cdot 2}{3}=\frac{2}{3}<1$$

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Super danke :-)