Reihe auf Konvergenz / absolute Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Überprüfe die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz und begründe die Aussage:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k•2^k}{3k}} \)

Wie löse ich das am besten? Vielen Dank im voraus :)

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cancel{k}\cdot 2^k}{3\cancel{k}}=\frac{1}{3}\sum \limits_{k=1}^{\infty}2^k$$ Es handelt sich bei \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}2^k\) um eine geometrische Reihe \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}q^k\), die nur konvergiert, wenn \(|q|<1\). Also Divergenz, weil \(q=2\) in diesem Fall.

Vorsicht: Wenn du die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\cdot 2^k}{3^k}\) meinst, so konvergiert diese.

Comments

Hallo, ja ich meine die unten stehende Reihe. was meinst du mit Vorsicht? ^^

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Vorsicht, weil die Antwort dann nicht stimmt. Die untere Reihe kannst du mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz untersuchen - ist dir das ein Begriff?

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Ja, das kenne ich, aber wieso konvergiert die Reihe, wenn du davor die Divergenz gezeigt hast? ^^

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Ich zeige die Divergenz von \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k\cdot 2^k}{3k}\). Mit dem Wurzelkriterium zeigt man die Konvergenz von \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k\cdot 2^k}{3^k}\). Das sind zwei verschiedene Reihen, weil du das falsch abgetippt hast: Einmal \(3k\) im Nenner und einmal \(3^k\).

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Sorry, das habe ich gar nicht gesehen.. ich meinte tatsächlich 3^k. Danke für deine schnelle Hilfe :)

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Du brauchst lediglich das Wurzelkriterium und solltest wissen, dass \(\sqrt[k]{k}\xrightarrow{k\to \infty} 1\) ist.

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Wie wende ich denn konkret in diesem Beispiel das Wurzelkriterium an?

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$$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{k\cdot 2^k}{3^k}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{k}\cdot 2}{3}=\frac{2}{3}<1$$

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Super danke :-)