1.2 Wie viele Versuche müssen im Mittel ausgeführt werden, bevor erstmals ein Test erfolgreich ist?

Question

Aufgabe:

1 Ein Funktionstest gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 80 \% \).
1.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
1.1.1 bei der dritten Versuchsausführung der erste Erfolg eintritt,
1.1.2 spätestens beim dritten Versuch der erste Erfolg zu verzeichnen
ist.
\( 1.2 \) Wie viele Versuche müssen im Mittel ausgeführt werden, bevor erstmals ein Test erfolgreich ist?
2.1 Tüftler Rolf führt den Test zehnmal aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
2.1.1 alle zehn Tests,
2.1.2 höchstens acht Tests gelingen?
2.2 Wie viele Tests muss man mindestens ausführen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \( 95 \% \) wenigstens einen zu beobachten, der nicht gelingt?
Arbeitszeit: 20 Minuten
Rohpunkte:
\begin{tabular}{ccc|cc|ccc|ccc|ccc|c}
20 & 19 & 18 & 17 & 16 & 15 & 14 & 13 & 12 & 11 & 10 & 9 & 8,7 & 6 & 5 & \( 4-0 \) \\
\hline 15 & 14 & 13 & 12 & 11 & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0
\end{tabular} Notenpunkte:

Answer 1

1. Ein Funktionstest gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%

1.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
1.1.1 bei der dritten Versuchsausführung der erste Erfolg eintritt,

0.2^2·0.8 = 0.032 = 3.2%

1.1.2 spätestens beim dritten Versuch der erste Erfolg zu verzeichnen ist.

1 - 0.2^3 = 0.992 = 99.2%

1.2 Wie viele Versuche müssen im Mittel ausgeführt werden, bevor erstmals ein Test erfolgreich ist?

1/0.8 = 1.25

2.1 Tüftler Rolf führt den Test zehnmal aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
2.1.1 alle zehn Tests,

0.8^10 = 0.1074 = 10.74%

2.1.2 höchstens acht Tests gelingen?

∑(COMB(10, x)·0.8^x·0.2^(10 - x), x, 0, 8) = 0.6242 = 62.42%

2.2 Wie viele Tests muss man mindestens ausführen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% wenigstens einen zu beobachten, der nicht gelingt?

1 - (1 - 0.2)^n > 0.95 → n ≥ 14

Answer 2

1.2.

n*0,8= 1

n= 1,25

2.1.1. 0,8^10

2.1.2: P(X<=8) = 1-P(X=9)-P(X=10)

2.2.

1-0,8^n >0,95

n>13,4 -> n= 14

Comments

1.2:

müssen dann also 1,25 Versuche im Mittel ausgeführt werden? oder rundet man das auf 2 Versuche? Wie kommen Sie auf die Rechnung, woher kommt die 1?

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Können Sie bitte 2.1.2 ausführlicher erklären? Ich komme da nicht mit... Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 8 Tests gelingen?

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Bei Mittelwerten wird gewöhlich nicht gerundet (vgl. Infektionsquote Corona)

Anzahl* WKT = Mittelwert/Erwartungswert

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Erwartungswert

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und wie geht die Rechnung bei 2.1.2 weiter?

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P(X=9) = (10über9)*0,8^9*0,2

P(X=10) = 0,8^10

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wie rechne ich das aus? 10 über 9 kann ich nicht im taschenrechner ausrechnen.

Und warum ist P(X=9) nicht auch 0,8^09?

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10über9 = 10!/(9!*1!) = 10 , Binomialkoeffizient

Taste nCr benutzen : 10nCr9 =10 :)

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dann ist P(X<=8)= 1-0,2684-0,107 und dann ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 8 Tests gelingen 0,6246 also 62,46%?

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62,42% Abweichung ist bei dir rundungsbedingt.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

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Dankeschön! :)