Sikizzieren Sie diese Definition mit einem Bild.

Question

Wir definieren den Abstand zweier Punkte \( x \) und \( y \) im \( \mathbb{R}^{2} \) als \( d(x, y):= \) \( \sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}} \)
Sei \( x \neq 0 \) ein Punkt in \( \mathbb{R}^{2} . \) Dieser definiert Gerade \( G(0, x)=\{t x \mid t \in \mathbb{R}\} \). Wie in der Tafelebene definieren wir, wann zwei Geraden \( G(0, x) \) und \( G(0, y) \) aufeinander senkrecht stehen, nämlich wenn es \( a \neq 0 \) auf \( G(0, x) \) und \( b \neq 0 \) auf \( G(0, y) \) gibt, so dass \( d(a, b)=d(-a, b) \) ist.

a) Sikizzieren Sie diese Definition mit einem Bild.

b) Zeigen Sie, dass \( G(0, x) \) genau dann auf \( G(0, y) \) senkrecht steht, wenn \( x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}=0 \) ist.

Comments

Answer 1

Hallo,

ich korrigiere mal einen Satz in Deiner Frage, so wie ich ihn verstanden habe:

Sei \(x \neq 0 \) ein Punkt in \( \mathbb{R}^{2}\). Dieser definiert eine Gerade \(G(0, x)= \{t x_1 |\, t x_2 \}\) mit \(t \in \mathbb{R} \)

Die Skizze sollte IMHO etwa so aussehen

Wenn \(d(a,b) = d(-a,b)\) (die lila Strecke gleich lang sind) stehen \(G(0,x)\) und \(G(0,y)\) senkrecht zu einander.

Und wenn man nun davon ausgeht, dass für die Punkte \(a\) und \(b\) gilt$$a= (\alpha x_1|\, \alpha x_2) \quad \alpha \in \mathbb R \\b = (\beta y_1|\, \beta y_2) \quad \beta\in \mathbb R $$dann berechnet sich \(d(a,b)\) lt. Definition aus$$\begin{aligned} d(a,b) &= \sqrt{\left(\alpha x_1 - \beta y_1\right)^2 + \left(\alpha x_2-\beta y_2\right)^2} \\ &= \sqrt{\left(\alpha x_1\right)^2 - 2\alpha \beta x_1y_1 + \left(\beta y_1\right)^2 + \left(\alpha x_2\right)^2- 2\alpha\beta x_2y_2+ \left(\beta y_2\right)^2} \\ &= \sqrt{\left(\alpha x_1\right)^2 + \left(\beta y_1\right)^2 + \left(\alpha x_2\right)^2 + \left(\beta y_2\right)^2- 2\alpha \beta (x_1y_1 + x_2y_2)} \\ \end{aligned}$$und der Abstand \(d(-a,b)\) zum Punkt \(-a=(-\alpha x_1|\, -\alpha x_2)\) ist dann entsprechend $$d(-a,b) = \sqrt{\left(\alpha x_1\right)^2 + \left(\beta y_1\right)^2 + \left(\alpha x_2\right)^2 + \left(\beta y_2\right)^2 + 2\alpha \beta (x_1y_1 + x_2y_2)}$$\(d(-a,b)\) unterscheidet sich von \(d(a,b)\) nur durch das Vorzeichen des letzten Summanden unter der Wurzel. Ist dieser Summand \(=0\), dann sind beide Abstände gleich. Da man lt. Vorgabe davon ausgehen kann, dass \(\alpha\) und \(\beta \ne 0\) sind, folgt daraus$$d(a,b) = d(-a,b) \Longleftrightarrow x_1y_1+x_2y_2 = 0$$Gruß Werner