Dreieckige Waldfläche soll in Ackerflächen umgewandelt werden. Ackerfläche maximal machen.

Question

Aufgabe:

Eine dreieckige Waldfläche soll entsprechend obigem Schaubild in Ackerflächen umgewandelt werden, wobei die braun gefärbte Fläche künftige Kartoffelacker sein sollen, die an sechs Landwirte verteilt werden sollen.  Die Ackerflächen sollen möglichst groß sein, sodass die Landwirte ein möglichst flächengroßes Teil erhalten werden.

Wie groß könnte die braun gefärbte Fläche bei den angegebenen Maßen maximal werden, wenn die Fläche eine rechteckige Form haben soll?

Ich habe mir bereits grafisch Überlegungen dazu gemacht.

Das dreieckige Waldstück ist  6 km lang und 4 km breit.

Wie groß kann nun die rechteckige Ackerfläche maximal sein?

Habe folgende Aufgaben dazu:

1. Bestimme die Zielfunktion mit den 2 Variablen l  und  h.

2. Welche Definitionsmenge für die Länge l ist für die rechteckige Ackerfläche sinnvoll?

→ D = ]0 ; 6[    → Die Werte  0  und  6  würde ich ausschließen.

Kann eine Seite der Ackerfläche auch weniger als 1 km breit sein?

3.  Bringe die Seiten l und h der rechteckigen Ackerfläche in einen Zusammenhang und stelle dabei die Nebenbedingungen auf.

h = 4 - 6/4 · l       Stimmt das?

4.  Stelle die Flächenfunktion der Ackerfläche unter Gebrauch der Nebenbedingung aus Aufgabe 3 in Abhängigkeit der Seite l der Ackerfläche dar und bestimme dabei die Zielfunktion, die nur noch eine Variable enthält.

5.  Berechne die Länge l der rechteckigen Ackerfläche so, dass der größtmögliche Flächeninhalt erzeugt wird.

Bestimme dazu die relativen bzw. absoluten Extremstellen.

→ Erste Ableitung der zusammengesetzten Funktion

6.  Könnte der Flächenplaner auch eine größere Fläche erhalten, wenn er die Fläche anders in das dreieckige Waldstück hineinlegt?

→ Nein, denn die Fläche ist bereits maximal bestimmt worden. Stimmt das?

Bitte um Ergänzungen und Vervollständigung des Rechenwegs.

Answer 1

Hallo firei,

 

ich würde folgendermaßen vorgehen (hoffentlich ist es Dir eine kleine Hilfe - immerhin haben wir beide das gleiche Ergebnis)

:-D

 

Wenn wir die linke untere Ecke des Dreiecks im Koordinatenursprung verorten, sind die beiden Endpunkte der Hypotenuse (0|4) und (6|0); damit kann sie durch die Funktionsgleichung beschrieben werden

f(x) = y = (0-4)/(6-0) * x + 4 = -2/3 * x + 4

 

Die braun gefärbte Strecke hat die Fläche

a(x) = x * f(x) = x * (-2/3 * x + 4) = -2/3 * x² + 4x

Um diese zu maximieren, setzen wir die 1. Ableitung dieser Funktion = 0 (notwendige Bedingung für Maximum); die 2. Ableitung muss < 0 sein (hinreichende Bedingung für Maximum)

a'(x) = -4/3 * x + 4

a''(x) = -4/3 - die hinreichende Bedingung ist schon erfüllt :-)

a'(x) = 0 = -4/3 * x + 4

4/3 * x = 4

x = 4 * 3/4 = 3 = Breite der Fläche

Einsetzen in f(x) ergibt die Höhe der Fläche: 

f(3) = -2/3 * 3 + 4 = 2

 

Maximaler Flächeninhalt der braunen Fläche 3km * 2km = 6km²

 

Besten Gruß

Answer 2

1) f ( l , h ) = l * h

2) Richtig. 0 und 6 sind in der Praxis sinnlos, weil sich eine Ackerfläche von 0  ergeben würde. Vom mathematischen Standpunkt her müssen diese Stellen allerdings nicht ausgeschlossen werden.

3) h = 4 - 4 / 6 l

(Du hast hier in deiner Frage eine andere Steigung angegeben. Überlege, warum dein Lösung nicht stimmen kann. Betrachte dazu, welcher Wert sich für h ergibt, wenn  man l = 6 in deine Gleichung eingibt und vergleiche ihn mit dem Wert, der sich ergeben müsste ...)

4) f ( l ) = l * ( 4 - 4 / 6 ) l = 4 l - ( 2 / 3 ) l ²

5) f ' ( l ) = 4 - ( 4 / 3 ) l

f ' ( l ) = 0

<=> 4 - ( 4 / 3 ) l = 0

<=> 4 = ( 4 / 3 ) l

<=> l = 4 * ( 3 / 4 ) = 3

=> relatives Extremum ist: l = 3 .
Der Extremwert ist:  f ( 3 ) = 4 * 3 - ( 2 / 3 ) * 3 ² = 12 - 6 = 6

Dies ist auch das absolute Extremum, da f ( l ) an den Randstellen l = 0 und l = 6 kleinereFunktionswerte hat, nämlich jeweils 0.

6) In dieser Aufgabe wurde das Rechteck so in das Dreieck gelegt, das seine Seiten auf den Achsen des Koordinatenkreuzes liegen. Unter dieser Bedingung ist das berechnete Rechteck das maximale.

Legt man das Rechteck jedoch anders in das Dreieck, z.B. so, dass eine seiner Seiten auf der Hypotenuse des Waldstückes liegt, könnte durchaus auch ein größeres Flächenstück entstehen. Das müsste geprüft werden.,

Comments

Das Rechteck würde dann quer drin liegen.
Wie würde sich der Flächeninhalt dann weiter maximieren?

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Wie würde dann diese Überprüfung ausschauen, ob es noch ein größeres Flächenstück gibt?