Aloha :)
Wir haben eine Fläche \(S\), die charakterisiert wird durch die Menge:$$S=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,x\in[0;3]\;\land\;y\in[0;2]\;\land\;z=0\}$$Zur Parametrisierung einer Fläche benötigen wir nur 2 Freiheitsgrade. Da hier \(z=0\) festgehalten wird und als frei wählbarer Parameter (bzw. als Freiheitsgrad) wegfällt, ist diese Menge gleich:$$S'=\{(x;y;0)\in\mathbb R^3\,\big|\,x\in[0;3]\;\land\;y\in[0;2]\}$$Wir erkennen, dass der Vektor \((0;0;1)^T\) auf allen Ortsvektoren \((x;y;0)^T\in S'\) senkrecht steht. Das Flächenelment von \(S\) bzw. \(S'\) ist daher:$$d\vec f=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,dx\,dy$$
Der Fluss \(\Phi\) des Vektorfeldes \(\vec v\) durch die Fläche \(S\) ist daher:$$\Phi=\iint\limits_S\vec v\,d\vec f=\int\limits_{x=0}^3\;\int\limits_{y=0}^2\begin{pmatrix}\sqrt3\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^3\;\int\limits_{y=0}^21\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^3dx\cdot\int\limits_{y=0}^2dy$$$$\phantom{\Phi}=3\cdot2=6$$
