Überprüfe die Folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz und begründe die Aussage

Question

Aufgabe:

Überprüfe die Folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz und begründe die Aussage.

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{k^-\frac{1}{k}} \)

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe, wie mache ich das am besten? :)

Comments

Soll es

$$k^{-\frac{1}{k}}$$

sein? Dann würde ein kurzer Blick auf die Werte dieser Summanden weiterhelfen.

Gruß Mathhilf

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Ja genau, ich wusste nicht wie ich den Exponenten hier richtig darstelle

Answer 1

Hallo

das erst was man immer prüft: ist die notwendige Bedingung erfüllt, dass die Summanden eine Nullfolge bilden! ob, das ist hier leicht zu sehen!

Gruß lul

Comments

Woran sehe ich das denn? ^^

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vielleicht mal ein großes k einsetzen, wenn du $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$ nicht kennst.

lul

Answer 2

Aloha :)

Wegen \(n<2^n\) ist \(\sqrt[n]{n}<2\) bzw. \(\frac{1}{\sqrt[n]{n}}>\frac{1}{2}\). Daher divergiert die Reihe:$$\sum\limits_{k=1}^\infty k^{-1/k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt[k]{k}}>\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{2}\to\infty$$