Aloha :)
Wir bestimmen den Gradienten der Funktion \(f(x;y)=e^{x-y}\) im Punkt \((0|0)\):$$\operatorname{grad} f(x;y)=\binom{e^{x-y}}{-e^{x-y}}\quad\implies\quad\operatorname{grad} f(0;0)=\binom{1}{-1}$$
Einen beliebigen Einheitsvektor im \(\mathbb R^2\) parametrisieren wir in Polarkoordinaten: \(\vec v=\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}\). Die Richtungsbaleitung ist dann nur vom Winkel \(\varphi\) abhängig:$$D_{\vec v}\vec f(0;0)=\binom{1}{-1}\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}=\cos\varphi-\sin\varphi$$Wegen \(\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}\) können wir die Richtungsableitung umschreiben:$$\cos\varphi-\sin\varphi=\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\varphi-\cos\frac{\pi}{4}\sin\varphi\right)=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)$$
Die maximale Richtungsableitung \(\sqrt2\) liegt vor wenn$$1=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\varphi_{\text{max}}\right)\implies\frac{\pi}{4}-\varphi_{\text{max}}=\frac{\pi}{2}\implies \varphi_{\text{max}}=-\frac{\pi}{4}$$
Die minimale Richtungsableitung \(-\sqrt2\) liegt vor wenn$$-1=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\varphi_{\text{min}}\right)\implies\frac{\pi}{4}-\varphi_{\text{min}}=-\frac{\pi}{2}\implies \varphi_{\text{min}}=\frac{3\pi}{4}$$
Zurückübersetzt in Vektorkomponenten:$$\vec v_{\text{max}}=\binom{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{-1}$$$$\vec v_{\text{min}}=\binom{\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{-1}{1}$$
Wie erwartet liegt die Richtung des stärksten Anstiegs in Richtung des Gradienten.
