Zeigen sie mit Polynome

Question

Aufgabe Zeigen Sie: Für beliebige y1, . . . , yn ∈ K existiert genau ein Polynom α ∈ K[X] mit deg(α) < n
und α(xi) = yi für i = 1, . . . , n.
Hinweis: Die Koeffizienten von α bilden die Lösung eines Gleichungssystems.

Comments

Für die Existenz könntest du mit den Langrange Polynomen argumentieren

$$ l_i := \prod_{k=1, k\neq i}^n (x_i-x_k)^{-1} (x-x_k) $$

Was ist \( l_i (x_j)\)? Was ist \( \deg l_i\)? Wie kannst du aus diesen Polynomen ein geeignetes \( \alpha\) basteln?

Zur Eindeutigkeit ein absoluter Standardansatz: sind f, g Polynome mit der geforderten Eigenschaft.

Wie viele Nullstellen hat dann f-g?

Welchen Grad hat f-g?