Zeigen Sie ihre totale Differenzierbarkeit und bestimmen Sie f(M)

Question

Gegeben sei die Abbildung

f : R^nxn → R^n×n, f(M)=M³

Zeigen Sie ihre totale Differenzierbarkeit und bestimmen Sie f´(M) fur alle M ∈R^n×n
.

Answer 1

Hallo,

wir berechnen das totale Differential aus

\(\lim_{H \to \mathbb{O}} \frac{f(M+H)-f(M)-D(f)(H)}{H}=\lim_{H \to \mathbb{O}} \frac{(M+H)^3-M^3-D(f)(H)}{H}\)

\(=\lim_{H \to \mathbb{O}} \frac{(M+H)(M+H)(M+H)-M^3-D(f)(H)}{H}=\lim_{H \to \mathbb{O}} \frac{(M^2+MH+HM+H^2)(M+H)-M^3-D(f)(H)}{H}\)

\(=\lim_{H \to \mathbb{O}} \frac{(M^3+MHM+HM^2+H^2M+M^2H+MH^2+HMH+H^3)-M^3-D(f)(H)}{H}\)

\(=\lim_{H \to \mathbb{O}} \frac{MHM+HM^2+H^2M+M^2H+MH^2+HMH+H^3-D(f)(H)}{H}\)

\(=\lim_{H \to \mathbb{O}} \frac{MHM}{H}+\frac{HM^2}{H}+\frac{H^2M}{H}+\frac{M^2H}{H}+\frac{MH^2}{H}+\frac{HMH}{H}+\frac{H^3}{H}-\frac{D(f)(H)}{H}\)

\(=3M^2+\lim_{H \to \mathbb{O}} [HM+2MH+H^2-\frac{D(f)(H)}{H}]=0\)

Ab hier kann man schön die Ableitung ablesen und dann noch überprüfen, dass es sich tatsächlich um das totale Differential handelt.

Das sei dem Frageseteller überlassen.

Comments

Hallo,

die Elemente sind hier Matrizen. Man kann aber nicht durch Matrizen dividieren.

Gruß Mathhilf

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Dann könnte man den Nenner H durch H^(-1) ersetzten und H^(-1) als Produkt daneben schreiben im Zähler schreiben, oder?

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Hallo,

was haltet ihr von meiner Idee?

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Also die Ableitung wäre dann 3*M^2 , oder?

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Nein, wie kommst du darauf?

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Ich habe gedacht, das wäre wie bei einer Funktion, z.B. f(x)=x^3 hier wäre die Ableitung dann 3*x^2, habe gedacht, dass das dann bei der Matrixabbildung hier auch der Fall wäre

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Nein, das wäre schön, wenn man alles was man bereits von Skalaren kennt auf Matrizen übertagen könnte.

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Ok, kannst du dann vielleicht bitte erklären, wie du auf M^2 gekommen bist, dass M^2 die ableitung von f wäre?

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Wie kommst du darauf? Ich habe das gar nicht gesagt. Schau mal hier.

Answer 2

Hallo,

grundlegend ist für die totale Differenzierbarkeit zu zeigen, dass:$$\lim\limits_{A\to 0}\frac{||f(M+A)-f(M)-f'(M)A||}{||A||}=0$$ Hierbei gilt für den Zähler $$\begin{aligned} f(M+A)-f(M)-f'(M)A &=(M+A)^3-M^3-AM^2-MAM-M^2A & \\ &=\cdots = MA^2+AMA+A^2M+A^3 \end{aligned}$$ Weiter gilt: $$\begin{aligned} 0\leq \frac{\left\|M A^{2}+A M A+A^{2} M+A^{3}\right\|}{\|A\|} &=\frac{\left\|\left(M A+A M+A^{2}\right) A+A^{2} M\right\|}{\|A\|} \\ & \overset{(*)}\leq \frac{\left\|\left(M A+A M+A^{2}\right) A\right\|+\left\|A^{2} M\right\|}{\|A\|} \\ & \overset{(\#)}\leq \frac{\left\|M A+A M+A^{2}\right\| \cdot\|A\|+\|A\| \cdot\|A\| \cdot\|M\|}{\|A\|} \\ &=\left\|M A+A M+A^{2}\right\|+\|A\| \cdot\|M\| \stackrel{A \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0 \end{aligned} $$ Hierbei verwende ich in \((*)\) die Dreiecksungleichung und in \((\#)\) die Submultiplikativität der Matrixnorm.

Comments

Sieht nicht schlecht aus, danke, aber wie bist du darauf gekommen, dass f´(M)=M^2 ist, müsste das nicht 3*M^2 wegen der Ableitung sein?

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https://www.mathelounge.de/666304/f-a-bestimmen-fur-alle-a-aus-r-nxn