Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags

Question

Aufgabe:

Ein Ackerbau wird mit x1 Einheiten Naturdünger und mit x2

Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:
E=f(x1,x2)=838+8x1−2x1²+6x2−2x2²+5x1x2

Der Düngemitteleinsatz von derzeit 9
Einheiten Naturdünger und 14 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 3.7% weniger Naturdünger und 2.3

% mehr Kunstdünger eingesetzt werden.

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.

b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir untersuchen die Änderung der Funktion$$f(x;y)=838+8x−2x^2+6y−2y^2+5xy$$mit den Parametern$$(x_0;y_0)=(9;14)\quad;\quad\frac{\Delta x}{x_0}=-3,7\%\quad;\quad\frac{\Delta y}{y_0}=+2,3\%$$

zu a) Bei kleinen Änderungen ist eine lineare Abschätzung mit dem totalen Differential möglich:

$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=\left(8-4x+5y\right)dx+\left(6-4y+5x\right)dy$$$$\Delta f\approx(8-4x_0+5y_0)\left(-\frac{3,7}{100}\cdot x_0\right)+(6-4y_0+5x_0)\left(\frac{2,3}{100}\cdot y_0\right)$$$$\Delta f\approx42\cdot(-0,333)+(-5)\cdot(0,322)$$$$\Delta f\approx-15,596$$

zu b) Die exakte Veränderung ist:$$\Delta f=f(8,667;\;14,322)-f(9;14)=1053,44-1070=-16,56$$

Answer 2

Hallo

1. aus den % Änderung die Änderung ausrechnen , Δx1 und Δx2 (weniger = negativ )

dann E nach x1 ableiten : E_x1, und nach x2 ableiten E_x2

damit dann ΔE= E_x1*Δx1+E_x2*Δx2

b) E mit den ursprünglichen Werten auswerten, dann mit den geänderten, die Differenz bilden.

Gruß lul