Goldener Schnitt und Heronsche Formel zum Berechnen von Dreiecksseiten

Question

Aufgabe 3.53:

Die Seiten eines Dreiecks unterscheiden sich jeweils um 1 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \( 84,0 \cdot 10^{-4} \mathrm{m}^{2} . \) Berechne die Längen der Dreieckseiten.

Hinweis: Setze für die drei Seiten \( x-1, x \) und \( x+1 \); verwende sodann die Heronsche Flächenformel und setze \( u=x^{2} \)

Aufgabe 3.54:

Eine Strecke wird im Goldenen Schnitt ("Ingenieur-Mathematik 1", Seite 134) geteilt, wenn sich die Länge c der ganzen Strecke zum größeren Teilabschnitt x wie der größere Teilabschnitt x zum kleineren Abschnitt c-x verhält. Berechne das Teilungsverhältnis x/c.

Comments

Zum goldenen Schnitt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt#Herleitung_des_Zahlenwertes

Answer 1

Hallo Schnetze,

 

vielleicht ist die 3.53 sogar einfacher als die 3.54.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron

 

A = 84 * 10^-4 = 1/4 * √[(a + b + c) * (a + b - c) * (b + c - a) * (c + a - b)]

Mit a = x, b = x - 1, c = x + 1 gilt

(a + b + c) = (x + x - 1 + x + 1) = 3x

(a + b - c) = (x + x - 1 - x - 1) = x - 2

(b + c - a) = (x - 1 + x + 1 - x) = x

(c + a - b) = (x + 1 + x - x + 1) = x + 2

 

Also

A = 1/4 * √[3x * (x - 2) * x * (x + 2)] = 1/4 * √[3x² * (x² - 4)]

 

84 * 10^-4 m² = 0,0084 m² = 84 cm² = 1/4 * √[3x² * (x² - 4)]

336 = √[3x² * (x² - 4)] | Quadrieren

112896 = 3x² * (x² - 4)

3x⁴ - 12x² - 112896 = 0

x⁴ - 4x² - 37632 = 0

Hier kann man substituieren mit z = x²

z² - 4z - 37632 = 0

z_1,2 = 2 ± √(4 + 37632) = 2 ± 194

z₁ = 196

z₂ = -192

Rücksubstituieren:

x = √196 = 14

 

Eine Seite ist also 14cm lang, die andere 13cm und die dritte 15cm.

 

Probe:

A = √[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)] mit s = (a + b + c)/2 = 21

= √(21 * 7 * 8 * 6) = 84

 

Wow :-D

 

Besten Gruß

Comments

!! :) habs mit der Formel A=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) probiert. da kommt dann irgendwas heraus.
Mfg. :)

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Gern geschehen :-)

Schwierige, aber reizvolle Aufgabe!

Ich hoffe, dass dieses "irgendwas" auch die oben berechneten Längen 13, 14 und 15 Zentimeter sind :-D

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Ich bin leider nicht damit fertig geworden, weil bei ich schon mit solchen Zahlen wie: x^8/4 gerechnet habe :D Danke nochmals! :)
mfg.

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Ich habe mich auch mehrmals zwischendurch verrechnet, kommt halt vor ...

Schau Dir einfach die Lösung nochmal genau an - ich glaube, sie ist nachvollziehbar. :-)

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habs auch mit der anderen Formel herausbekommen :)
Ist eigentlich eh nicht so schwer :) Nur knifflig :D
mfg.