Aloha :)$$x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}\quad;\quad x_1=\frac{3}{2}$$
zu a) Beschränktheit:
Wegen \(x_1=\frac{3}{2}\ge\sqrt2\) ist die Behauptung \(x_n\ge\sqrt2\) für \(n=1\) erfüllt. Weiter gilt:$$x^2_{n+1}-2=\left(\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}\right)^2-2=\left(\frac{x_n^2+2}{2x_n}\right)^2-2=\frac{x_n^4+4x_n^2+4}{4x_n^2}-2$$$$\phantom{x^2_{n+1}-2}=\frac{x_n^4+4x_n^2+4-8x_n^2}{4x_n^2}=\frac{x_n^4-4x_n^2+4}{4x_n^2}=\frac{(x_n^2-2)^2}{4x_n^2}=\left(\frac{x_n^2-2}{2x_n}\right)^2\ge0$$Also ist \(x^2_{n+1}\ge2\) bzw. \(x_{n+1}\ge\sqrt2\). Daher gilt für alle \(n\in\mathbb N\), dass \(x_n\ge\sqrt2\).
zu b) Monotonie:
Wir betrachten$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}-x_n=\frac{1}{x_n}-\frac{x_n}{2}=\frac{2-x_n^2}{2x_n}\le0\implies\text{monoton fallend}$$Nach a) ist \(x_n\ge\sqrt2\) bzw. \(x_n^2\ge2\) bzw. \(2-x_n^2\le0\). Der Zähler des Bruchs von oben ist also nicht-positiv und der Nenner ist positiv. Daher ist \(x_{n+1}\le x_n\).
Jede beschränkte monotone Folge konvergiert, daher auch unsere Folge \((x_n)\).
zu c) Grenzwert bestimmen:
$$x=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\implies\frac{x}{2}=\frac{1}{x}\implies x^2=2\implies x=\sqrt2$$Die negative Lösung kommt als Grenzwert nicht in Betracht, da nach \(a\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt \(x_n\ge\sqrt2\).
Wir haben hier mit \((x_n)\) eine Folge von rationalen Zahlen, die nicht gegen eine rationale Zahl konvergiert. Daher ist \(\mathbb Q\) nicht vollständig.
