Kombinatorik, Verteilung von 5 Geburtstagen auf Wochentage

Question

habe natürlich ein Problem mit dieser Aufgabe, wie allgemein mit der Wahscheinlichkeitsrechnung:


Betrachtet werden die Wochentage der Geburtstage in einer 5-köpfigen Familie.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es um die Geburtstage der Familie auf die Wochentage zu verteilen? Ic: 10 Wochentage, für jeden Tag 5 Möglichkeiten, aber: Darf eine Perosn auch zweimal vorkommen? also entweder 5 hocch 10  oder eben mit der Fakultät?


b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit  haben alle Familienmitglieder an verschiedenen tagen Geburtstag wenn alle Tage als gleichwahrscheinlich angesehen werden..? Ich: Vielleicht wie ein Urnenmodell ohne zurücklegen? mit n gleich 5 und k gleich 10?

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben zwei am gleichen Tag Geburtstag? Hie rhab ich nichtmal nen Ansatz :(

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle Familienmitglieder am gleichen Wochentag Geburtstag? 1-(alle an verschiedenen tagen?)

Answer 1

 

a)

da eine Woche gemeinhin 7 Tage hat :-)

kann der Vater an einem von 7 verschiedenen Wochentagen geboren sein, ebenso die Mutter. So haben wir schon 7 * 7 = 7² Möglichkeiten für diese zwei Personen. 

Bei 5 Personen ergeben sich enstsprechend 7⁵ = 16807 Möglichkeiten

(5maliges Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen)

 

b)

P(alle Familienmitglieder an verschiedenen Tagen Geburtstag)

Der Vater hat 7 Möglichkeiten, die Mutter dann noch 6 Tage "zur Wahl" usw.

Es ergeben sich 7 * 6 * 5 * 4 * 3 = 2520 Möglichkeiten, dass alle an verschiedenen Wochentagen Geburtstag haben.

P(alle Familienmitglieder an verschiedenen Tagen Geburtstag) = 2520/16807 ≈ 14,99%

 

c)

P(genau? zwei am gleichen Wochentag Geburtstag)

ist in der Tat etwas schwieriger - schau ich mir gleich noch an :-D

 

d)

P(alle am gleichen Wochentag Geburtstag)

Egal, an welchem Tag der Vater Geburtstag hat, die W., dass die Mutter am gleichen Tag Geburtstag hat, ist 1/7.

Dass das nächste Familienmitglied auch an diesem Tag Geburtstag hat, ist auch 1/7. Und für die anderen beiden ebenso.

P(alle am gleichen Wochentag Geburtstag) = (1/7)⁴ ≈ 0,0004165 = 0,04165%

 

Besten Gruß

Comments

Zur Aufgabe c)

5 Familienmitglieder A, B, C, D, E

A hat die freie Wahl.

Mögliche Vorgehensweise:

 

P(B gleicher Tag wie A Geburtstag) = 1/7

P(C nicht wie A oder B) = 5/7

P(D nicht wie A oder B oder C) = 4/7

P(E nicht wie A oder B oder C oder D) = 3/7

P(nur A und B am gleichen Tag) = 1/7 * 5/7 * 4/7 * 3/7 = 60/2401

 

P(B nicht wie A) = 6/7

P(C wie A oder B) = 2/7

P(D nicht wie A oder B oder C) = 4/7

P(E nicht wie A oder B oder C oder D) = 3/7

P(nur C und A oder C und B am gleichen Tag) = 6/7 * 2/7 * 4/7 * 3/7 = 144/2401

 

P(B nicht wie A) = 6/7

P(C nicht wie A oder B) = 5/7

P(D wie A oder B oder C) = 3/7

P(E nicht wie A oder B oder C oder D) = 3/7

P(nur D und A oder B oder C am gleichen Tag) = 270/2401

 

P(B nicht wie A) = 6/7

P(C nicht wie A oder B) = 5/7

P(D nicht wie A oder B oder C oder D) = 4/7

P(nur E und A oder B oder C oder D) = 4/7

P(nur E und A oder B oder C oder D am gleichen Tag) = 480/2401

 

Gesamtwahrscheinlichkeit = (60 + 144 + 270 + 480) / 2401 = 954/2401 ≈ 39,73%

 

Hierbei bin ich mir aber alles andere als sicher :-(

Answer 2

Wie kommt man auf 10 Wochentage ? Ich kenne Montag bis Sonntag also 7.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es um die Geburtstage der Familie auf die Wochentage zu verteilen?

7^5

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit  haben alle Familienmitglieder an verschiedenen tagen Geburtstag wenn alle Tage als gleichwahrscheinlich angesehen werden..?

7/7 * 6/7 * 5/7 * 4/7 * 3/7 = 360/2401 = 14.99%

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben zwei am gleichen Tag Geburtstag? Hie rhab ich nichtmal nen Ansatz :(

(5 über 2) * 7/7 * 1/7 * 6/7 * 5/7 * 4/7 = 1200/2401 = 49.78%

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle Familienmitglieder am gleichen Wochentag Geburtstag?

7 * (1/7)^5 = 1/2401 = 0.04%

Ich glaube ich habe eine Aufgabe verkehrt gerechnet. Deine Aufgabe ist es daher meine Lösungsansätze sorgfältig zu prüfen und meinen eventuell gemachten Fehler zu korrigieren.

Comments

Also bei der ersten hätte ich es umgekehrt gesagt, 5 hoch 7, also immer 5 Möglichkeiten pro Tag und das sieben mal (7 Wochentage), oder mach ich da was falsch?

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Und noch eine Frage: wieso bei der letzten 7 mal ....


also woher kommt die vorangestellte 7?

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Hast du denn für jeden Tag 5 Personen zur Auswahl. Du hast eher für jede Person 7 Tage zur Auswahl.

(1/7)^5 wäre die WK das alle am Montag geburtstag haben. Mir stehen aber 7 Tage zur Verfügung. Also sie können ja auch alle am Dienstag Geburtstag haben.