Zeigen Sie, dass fur den Betrag I · I : ℝ →[0; ∞) gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass fur den Betrag I · I : ℝ →[0; ∞) gilt

Ix + yI ≤ IxI + IyI: IIxI − IyII ≤ Ix − yI;                             x; y ∈ R.

Problem/Ansatz

Ich habe bei der Aufgabe irgendwie den Wurm drinnen, und stecke fest, so komme ich nicht wirklich weiter, das ist eine Aufgabe aus der Vorlesung, wir können zur Vorbereitung auf die nächste Vorlesung diese und andere zur übung machen. Das ist zwar freiwillig, aber dennoch komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Es wäre hilfreich wenn mir die Aufgabe mittels eines Rechenweges herleiten oder darstellen könnte, damit ich sehen kann wo ich genau falsch liege bzw. nicht weiter komme.

Answer 1

Hallo

mach eine Fallunterscheidung, x+y>0 und x+y<0 dann  noch x<0 usw

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Es ist \(\pm x\le|x|\) und \(\pm y\le|y|\), daher gilt \(x+y\le|x|+|y|\) und \(-(x+y)\le|x|+|y|\)

Das heißt:$$|x+y|\le |x|+|y|$$

Damit gilt nun aber auch:$$|x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y|\;\Longleftrightarrow\;|x|-|y|\le|x-y|$$$$|y|=|y-x+x|\le|y-x|+|x|\;\Longleftrightarrow\;|y|-|x|\le|y-x|\;\Longleftrightarrow\;-(|x|-|y|)\le|x-y|$$

Zusammengefasst heißt das:$$|\,|x|-|y|\,|\le|x-y|$$