Finden Sie die Darstellungsmatrix von T

Question

Aufgabe:

(a) Es sei \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die durch die Formel
$$ T\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x-y \\ x+2 y-z \\ 2 x+y+z \end{array}\right) $$
definierte lineare Abbildung. Finden Sie die Darstellungsmatrix von \( T \) bezüglich der üblichen Basis für \( \mathbb{R}^{3} \).

Answer 1

Einfach die Basisvektoren einsetzen:

$$A=(T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3})) =(T(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}),T(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix},T(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Answer 2

Aloha :)

$$T(\vec x)=\begin{pmatrix}x-y\\x+2y-z\\2x+y+z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\1 & 2 & -1\\2 & 1 & 1\end{pmatrix}\vec x$$