Zeigen Sie, dass die Abbildung stetig ist

Question

(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( f(x, y)=\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} \) stetig auf \( \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \) ist, aber nicht stetig in den Punkt \( (0,0) \) fortgesetzt werden kann. Hinweis: Untersuchen Sie für die Nichtstetigkeit das Verhalten von \( f \) entlang von Geraden durch den Ursprung.

(c) Seien \( X, Y \) metrische Räume und \( D \subseteq X \) eine dichte Teilmenge. Zeigen Sie, dass zwei stetige Abbildungen \( f, g: X \rightarrow Y \), die auf \( D \) übereinstimmen, schon gleich sind. (Das bedeutet, stetige Abbildungen sind schon durch die Werte auf dichten Teilmengen eindeutig bestimmt.)

Guten Tag Leute :)

Folgende Aufgaben gilt es zu lösen. Bei Auftebaneteil (b) schaffe ich den 2. Teil zwar, aber für den ersten würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand den Ansatz verraten könnte.

Und für (c) würde ich mich ebenfalls riesig freuen, wenn mir jemand den Beweis zeigen würde.

LG

Dr. S

Answer 1

2. Teil von b) Betrachte Punkte auf der x-Achse , also (x,0) .

Da ist immer f(x,0)=0 , müsste also durch f(0,0)=0

stetig fortgesetzt werden.

Aber für Punkte auf der Winkelhalbierenden , also (a,a)

ergibt sich f(a,a) = 2a^2 / 2a^2 = 1 also immer der

Funktionswert 1, demnach müsste es durch f(0,0)=1

stetig fortgesetzt werden. Wegen 0≠1 ist das nicht möglich,

also existiert keine steige Fortsetzung in (0,0).

Ach so, ich sehe gerade, dass du den Teil schon hast.

1. Teil ist einfach: Für (x,y) ≠ (0,0) liegt (x,y) im Def.breich von f

und das ist es eine gebrochen rationale Funktion also

stetig.

Comments

Perfekt, ich danke dir! :)