Berechnungen eines Kreises bei geeigneter Durchlaufrichtung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sei das Vektorfeld $v(x, y, z)=\left(y^{2}+z^{2}, x^{2}+z^{2}, x^{2}+y^{2}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^{3}$.
a) Bestimmen Sie rot $v=\left[w_{1}, w_{2}, w_{3}\right]^{\top}$ im Punkt $p=(1,0,-1)$.
b) Es sei $K_{r}$ der Kreis vom Radius $r$ mit Mittelpunkt $p$ in der zur $x z$ -Koordinatenebene parallelen Ebene durch $p$. Rechnen Sie nach, dass bei geeigneter Durchlaufrichtung
$$\lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \int \limits_{K_{r}} v \cdot d s=w_{2} .$$
c) Wiederholen Sie die b) entsprechend für die anderen beiden Koordinatenebenen.

Problem/Ansatz:

ich komme leider bei dem Aufgabenteil b (und damit ja auch bei c) nicht weiter bzw. weiß nicht, wie ich das angehen soll.

Bei der a) habe ich für die Rotation den Vektor (2,-4,2)^T im angegebenen Punkt raus.

Ich würde mich sehr freuen, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde, mir zu helfen.

Answer 1

Hallo

den Kreis parametrisieren

mit c(t): x=1+rcos(t)

y=0

z=1+rsin(t)

ds=c'(t)*dt  in v  c einsetzen und dann das Skalarprodukt  v*c'dt integrieren t von 0 bis 2pi oder umgekehrt.

Gruß lul

Comments

Dankeschön! :)
Ich hab das so versucht, jedoch kommt bei mir leider für das Integral 0 heraus und damit wäre der ganze Ausdruck ja 0 und nicht 4.

---

Hallo

es stand da w2 soll rauskommen warum sollte das 4 sein??

lul

---

Hallo :)

oh Entschuldigung, ich meinte natürlich -4.

Das ist das, was ich im Aufgabenteil a) für die Rotation in dem angegebenen Punkt herausbekommen habe.

Lg Salea