Abbildungstafel von Sym(A) und Abb(A,A) , was ist der Unterschied zwischen den beiden?

Question

Sei A eine endliche Menge mit n Elementen. Sei Sym(A) = {α ∣ α∶ A → A bijektiv}.
(i) Geben Sie für n ∈ {1, 2} die Elemente von Abb(A, A) und für n ∈ {1, 2, 3} die Elemente von Sym(A) direkt über Abbildungstafeln an.

 

Ich verstehe nicht was der unterschied zwischen Abb(A,A) und Sym (A) ist. denn Die abbildung von A nach A ist doch in Sym (A) enthalten.

 

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und mir erklären, wie ich vorgehen könnte.

Answer 1

Bei Abb(A,A) musst du alle Abbildungen A->A angeben.

Bei A={1,2} sind 2^2 = 4 Abbildungen anzugeben

*1  2
1+
2+

*1  2
1+
2    +

*1  2
1    +
2+

*1  2
1    +
2    +
Bei Sym(A) musst du nur die bijektiven Abbildungen A->A angeben.

Bei A={1,2,3} sind 3!=6 Abbildungen anzugeben.

* 1  2   3
1 +
2    +
3        +

* 1 2  3
1 +
2        +
3   +

* 1 2  3
1    +
2 +
3        +

* 1 2  3
1    +
2        +
3 +

* 1 2  3
1        +
2 +
3     +

* 1  2  3
1         +
2    +
3 +