a) Wann ist F linear unabhängig? Genau dann, wenn sie eindeutig darstellbar ist.
Um das zu zeigen, muss du hin und rückrichtungen zeigen. d.h.:
für die hinrichtung: F ist linear unabhängig, wenn a1v1+...+anvn=0. Das ist nur dann möglich wenn a1=...=an=0. Jeder Vektor kann man als Linearkombination darstellen d.h., dass v=a1v1+...+anvn und v=b1v1+...+bnvn
am Ende nutze die beide darstellungen um zu zeigen, dass a1v1... mit b1v1 = 0 sind. Das kannst du mithilfe von a1-b1=c1 machen.
fur die rückrichtung musst du zeigen, dass wenn a1v1...= 0, dann folgt daraus, dass a1=a2..=0. Dafür kannst du deine voraussetzung nutzen und sagen dass es nur ein einziges fall gibt und zwar nullvektor und der ist übrigens die einzige lösung.
b) Lin(F) hat immer endlich viele Elemente.. Was hier zum beweisen gibt, verstehe ich nicht. Indexmenge hat damit nichts zu tun.