Hallo.
Ich werde hier die Basis als eine Teilmenge des Raumes betrachten, wessen Elemente linear unabhängig sind und den Raum erzeugen. Nun zu den Aussagen:
a) ist richtig. Bemerke: Wenn {v_k : k = 1,…n} eine Basis von F ist, so gilt nach der Definition dim(F) = |{v_k : k = 1,…,n}| = n ∈ |N ∪ {inf}. In Worten heisst das also, das die Mächtigkeit einer Basis von F gleich der Dimension von F entspricht. Wenn jetzt hier schon eine Basis die Mächtigkeit unendlich hat, so ist F also unendlichdimensional und d.h. das jede Basis von F unendlich ist.
b) ist richtig, denn d.h. das eine Basis von F n-Elemente hat, wobei n ∈ |N (also n < inf) und damit ist F also auch n-dimensional. Da F n-dimensional ist, muss jede andere Basis auch n-Elemente haben.
c) ist i.A. falsch, da es sich hier nur um ein Erzeugendensystem handelt, welche keine Basis von F sein muss. Bemerke: Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem! In dem Falle wäre eine Basis sogar das kleinste Erzeugendensystem und könnte demnach trotz der Unendlichkeit eines Erzeugendensystems trotzdem endlich sein.
d) ist i.A. falsch. Eine linear unabhängige Menge muss ja keine Basis von F sein strenggenommen nach der Definition.
Beispiel: Sei F der unendlichdimensionale Raum aller Polynome über den komplexen Zahlen C. Dann ist z.B. U := {1,x,x^2} eine endliche linear unabhängige Teilmenge von F. U ist keine Basis von F, sondern eine Basis des dreidimensionalen (endlichdimensionalen) Raumes aller Polynome mit Grad maximal 2, was eine echte Teilmenge / Untervektorraum von F ist. Dennoch muss ja hier aber U auch keine Basis von F sein, da wir hier von linear unabhängigen Teilmengen von F sprechen. Die Teilmenge K := {x^n : n ∈ |N_0} hingegen ist eine Basis von F und damit ebenso eine linear unabhängige Menge, K ist aber unendlich im Gegensatz zu U.
