Vektorraum und Linearabhängig

Question

Aufgabe:

Seien F = (v_i)_i∈I ⊂ V eine Familie von Vektoren in einem K-Vektorraum V, wobei K ein beliebiger
Körper und I eine endliche Indexmenge ist.

a) Zeigen Sie, dass F genau dann linear unabhängig ist,
wenn jeder Vektor v ∈ Lin(F) sich in eindeutiger Weise als Linearkombination aus Vektoren von F schreiben lässt.
b) Beweisen Sie die gleiche Aussage unter der Annahme, dass die Indexmenge beliebig ist.

Answer 1

a) Wann ist F linear unabhängig? Genau dann, wenn sie eindeutig darstellbar ist.
Um das zu zeigen, muss du hin und rückrichtungen zeigen. d.h.:
für die hinrichtung: F ist linear unabhängig, wenn a1v1+...+anvn=0. Das ist nur dann möglich wenn a1=...=an=0. Jeder Vektor kann man als Linearkombination darstellen d.h., dass v=a1v1+...+anvn und v=b1v1+...+bnvn
am Ende nutze die beide darstellungen um zu zeigen, dass a1v1... mit b1v1 = 0 sind. Das kannst du mithilfe von a1-b1=c1 machen.
fur die rückrichtung musst du zeigen, dass wenn a1v1...= 0, dann folgt daraus, dass a1=a2..=0. Dafür kannst du deine voraussetzung nutzen und sagen dass es nur ein einziges fall gibt und zwar nullvektor und der ist übrigens die einzige lösung.

b) Lin(F) hat immer endlich viele Elemente.. Was hier zum beweisen gibt, verstehe ich nicht. Indexmenge hat damit nichts zu tun.

Comments

Lin(F) hat immer endlich viele Elemente

DAs ist i.allg. falsch. Ich vermute doch, dass Lin(F) die lineare Hülle von F bezeichnet und die besitzt schon zum Beispiel im R^n unendlich viele Element.

Gruß Mathhilf