Muss eine Reihe auf Konvergenz überprüfen

Question

Ich muss, für folgende Reihe mittels geeignetem Kriterium auf Konvergenz überprüfen.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n} \)\( \frac{12}{n^5} \)

Comments

soll da wirklich gekürzt in der Summe 12/n^4 stehen?

lul

Answer 1

Aloha :)

Wir schätzen die Summe$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=1}^N\frac{12}{n^4}$$nach oben ab. Da ein Bruch größer wird, wenn sein Nenner verkleinert wird, gilt:

$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\frac{12}{n^4}\le\sum\limits_{n=1}^N\frac{12}{n^2}=\frac{12}{1^2}+\sum\limits_{n=2}^N\frac{12}{n^2}\le12+\sum\limits_{n=2}^N\frac{12}{n(n-1)}$$$$\phantom{S_N}=12+12\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=12+12\left(\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\right)$$$$\phantom{S_N}=12+12\left(\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\right)=12+12\left(\left(\frac{1}{1}+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}+\frac{1}{N}\right)\right)$$$$\phantom{S_N}=12+12\left(1-\frac{1}{N}\right)=24-\frac{12}{N}$$Speziell für \(N\to\infty\) heißt das:$$S_{\infty}=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^N\frac{12}{n^4}\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(24-\frac{12}{N}\right)=24$$Die Reihe konvergiert daher nach dem Majorantenkriterium.

Answer 2

ja, die Reihe konvergiert:

Was möglich wäre ist u.a. die Majorantenkriterium:

Die Folge deiner Reihe ist äquivalent zu 12/n^4 und somit prüfst du die Konvergenz der Summenreihe

(von n=1 bis unendlich) 12/n^4, indem du eine konvergente Majorante findest, 12/n^4 ist kleiner gleich 12/n^2

und die harmonische Reihe 12/n^2 konvergiert, da der der Exponent von n größer gleich 2 ist.