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Aufgabe:

Sei a ∈ R und f : R2 → R, f(x, y) = x3 − 3ax − y2 . Finden Sie alle Werte b, so dass f-1(b) eine Untermannigfaltigkeit von Rist. Skizzieren Sie f-1(b) für einige Werte a und b


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Untermannigfaltigkeit helfen, wie finde ich die Werte?

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Habt ihr in der Vorlesung den Satz vom regulären Wert kennengelernt?

Ich habe ihn eben rausgesucht im Skript, in der Vorlesung haben wir ihn noch nicht gehabt, deswegen bin ich wohl nicht drauf gekommen.

Ich verstehe aber anschaulich trotzdem nicht, wie ich das zeigen muss... Am einfachsten geht das vermutlich damit, zu zeigen dass es lokal eine Nullstellenmenge ist...?

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Ich denke das läuft auf dasselbe hinaus. Ich arbeite jetzt mal mit dem Königsberger Band II und dem dortigen Satz zur lokalen Nullstellenmenge (in der 5. Auflage Seite 117)

Wenn \( b \in \mathbb R \) und \( (x_0, y_0)  \in f^{-1}(b) \) beliebig. Dann wählen wir als Umgebung erstmal \( \mathbb R^2 \) und es ist

$$ f^{-1}(b) \cap \mathbb R^2 = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 ~|~ f(x,y) = b \} = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 ~|~ f(x,y) -b = 0 \} $$

Die Funktion \( F : \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y) \mapsto f(x,y) - b \) ist sicherlich eine \( C^1 \)-Funktion.

Fehlt noch dass das Differential \( dF_{(x_0,y_0)} \) linear unabhängig bzw. da nur eine Funktion vorliegt also ungleich 0 ist. Jetzt ist

$$ dF_{(x_0,y_0)} : \mathbb R^2 \to \mathbb R, x \mapsto \nabla F(x_0,y_0)^T \cdot x $$

Das ist nicht 0 falls der Gradient nicht 0 ist.

$$ \nabla F(x_0,y_0) = \begin{pmatrix} 3x_0^2 -3a \\ -2y_0 \end{pmatrix} \neq 0 \iff y_0 \neq 0 \lor x_0 \neq \pm \sqrt a $$

Falls \( a < 0 \) ist zweitere Bedingung immer erfüllt, da \( x_0 \) keine komplexe Zahl sein kann und somit immer \( x_0 \neq \pm \sqrt a \) gilt. Also hier hast du immer eine UMFK vorliegen.

Falls \( a \ge 0 \) kann aber evtl \( y_0 = 0 \) und \( x_0 = \pm \sqrt a \) gelten.

In diesem Fall müsste ja aber auch \( b = x_0^3 - 3ax_0 -y_0^2 \) sein, also \( b = \pm 2a \sqrt a \).

Falls \( a \ge 0 \) und \( b \neq \pm 2a \sqrt a \) ist das also auch eine UMFK.

Bleibt \( a \ge 0 \) und \( b = \pm 2a \sqrt a \) separat zu prüfen. Dazu einfach mal ein paar Bildchen zeichnen lassen (z.B. mit GeoGebra):

\( a = 0, b = 0 \):

blob.png

\( a > 0, b = +2a \sqrt a \)

blob.png

Hier aber den isolierten Punkt nicht vergessen!

\( a > 0, b = - 2a \sqrt a \)

blob.png Würdest du sagen, dass das UMFK sind oder nicht?

Avatar von 1,3 k

Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort!

Hmm, das letzte ja auf jeden Fall, oder? Ich muss aber auch zugeben, dass ich durch das ganze Thema noch nicht so ganz durchgestiegen bin, das muss wohl noch etwas sacken. :)

Untermannigfaltikeiten sehen lokal aus wie euklidische Räume \( \mathbb R^n \).

Hier haben wir so eindimensionale Kurven, die sehen lokal aus wie der \( \mathbb R^1 \).

Wenn du dir ein Stückchen der Kurve rausschneidest kannst du das immer gerade biegen, s.d. du ein schön gerades Intervall bekommst.

Beim ersten hast du jetzt so einen harten Knick. Den kann man nicht gerade biegen.

Beim dritten ist diese Kreuzung. Die kann man auch nicht zu einem Intervall verbiegen.

Beim zweiten stört dieser einzelne Punkt. Da haben wir eine 0d-UMFK zusammen mit einer 1d-UMFK. Zusammen ist das aber keine UMFK, da hier unterschiedliche Dimensionen vermischt werden.

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