Äquivalenzbeweis zu Reihen und Folgen.

Question

Aufgabe:

hat jemand eine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Wir haben eine reelle Folge (b_n)_n∈ℕ und D > 0.

|\( \sum\limits_{j=1}^{\infty}{} \)b_jc_j| ≤ D\( \sum\limits_{j=1}^{\infty}{} \)c_j für alle Folgen (c_j)_j∈ℕ mit c_j > 0 und \( \sum\limits_{j=1}^{\infty}{} \)c_j < ∞ genau dann, wenn |b_j| ≤ D ∀ j∈ℕ.

Problem/Ansatz:

Ich stehe leider auf dem Schlauch. Hoffe mir kann jemand helfen. Danke :)

Answer 1

Hallo,

entweder habe ich da etwas nicht verstanden oder das ganz simpel:

1.

$$|\sum_{j=1}^{\infty} b_jc_j| \leq \sum_{j=1}^{\infty}|b_j||c_j \leq D \sum_{j=1}^{\infty}c_j$$

2. Umkehrung: Wähle Folge \((c_j)\) mit \(c_j:=0\) außer \(c_k:=1\). Dann

$$|b_k|=|b_kc_k|=|\sum_{j=1}^{\infty}b_jc_j | \leq D \sum_{j=1}^{\infty}c_j=D$$

Gruß Mathhilf