Zeigen Sie: Angenommen x*Ax ∈ R für alle x ∈ ℂ^n. Dann ist A selbstadjungiert.

Question

Aufgabe:

Sei A = (aij) ∈ M_n;n(ℂ). Zeigen Sie:
Angenommen x*Ax ∈ R für alle x ∈ ℂⁿ. Dann ist A selbstadjungiert.

Answer 1

Hallo,

zeige \( A = A^* \), indem du nachweist, dass:

i) \( a_{ii} \in \mathbb{R} \quad \forall i \in \lbrace{1,\dots ,n\rbrace}\)

ii) \(\Re(a_{ij}) = \Re(a_{ji}), \, \, \, \Im(a_{ij}) = -\Im(a_{ji}) \) für alle \( i,j\in \lbrace{1, \dots, n \rbrace} \) mit \( i \neq j \)

Dann gilt nämlich \( a_{ij} = \overline{a_{ji}} \,\,\forall i,j\in \lbrace{1,\dots,n \rbrace} \), d.h. \( A = A^* \)

Etwa zu i): Es gilt für \(i\in\lbrace{1,\dots, n\rbrace}\), dass \(a_{ii} = e_i^TAe_i = e_i^*Ae_i\in \mathbb{R}\) nach Voraussetzung.