Lineare Hülle Polynom Vektorraum

Question

Gegeben sei der lineare Raum P₄ aller Polynome des Grades ≤ 4. Bestimmen Sie die lineare Hülle der durch die folgenden Vorschriften gegebenen Funktionen:

a(x) = 1, b(x) = 1 + x, c(x) = (1 + x)² , d(x) = (1 + x)³ und e(x) = (1 + x)⁴ .

Ich denke zwar dass ich das Prinzip von linearen Hüllen als die Menge aller Linearkombinationen verstanden habe aber bei der Anwendung habe ich noch meine Probleme, zusätzlich verwirrt mich dass es sich hierbei um keine Vektoren handelt.

Vielen Dank für Hilfen!

Answer 1

dass es sich hierbei um keine Vektoren handelt.

Es handelt sich um Vektoren.

Definierende Eigenschaft eines Vektors ist, dass er Element eines Vektorraumes ist. P₄ ist ein lineare Raum. Vektorraum ist ein Synonym für linearer Raum. Also sind die Elemente von P₄ Vektoren.

Es gibt einen Isomorphismus zwischen dem linearen Raum P₄ und dem linearen Raum ℝ⁵, nämlich

        \(\alpha_1x^4 + \alpha_2x^3 + \alpha_3x^2 + \alpha_4x + \alpha_5 \mapsto \begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\\\alpha_4\\\alpha_5\end{pmatrix}\).

Zum Beispiel gilt

        \(e(x)=(1 + x)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1\mapsto \begin{pmatrix}1\\4\\6\\4\\1\end{pmatrix}\).

Damit kannst du Probleme aus P₄ in Probleme aus ℝ⁵ übersetzen.