Erste Ableitung -> Monotonie bestimmen: f(x) = 1/12x^4 - 3/2x^2

Question

Zeigen sie mit Hilfe der ersten Ableitung, dass die Funktion f im Intervall (0/3) monoton fallend ist
f(x) = 1/12x⁴ - 3/2x^2

f'(x) = 4/12x³ - 3x

ich hatte jetzt keine ahnung wie ich richtig weiter machen soll.. habe dann jetzt  einfach für x die werte von 1-3 eingegeben

f'(1) = 4/12*1³ - 3*1
       = 4/12 - 3 = - 32/12

f'(2) = 4/12*2³ - 3*2
       = 32/12 - 6 = - 40/12

f'(3) = 4/12*3³ - 3*3
       = 9 - 9 = 0

Da f'(x) im vorgegebenen intervall y< gleich 0 ist, ist f(x) monoton fallend



jetzt war ich heute bei meinem lehrer hab gefragt ob ich die aufgabe richtig gerechnet habe und der meinte nein..
das wäre die begründung..
die ableitungsfunktion f'(x) im intervall (0;3) verläuft im negativen bereich d.h. unter der x-achse und somit ist die normalfunktion f(x) in dem intervall (0;3) monoton fallend
und so soll ich das berechnen

ich habe einen bisschen komischen lehrer der nimmt sich nicht so gern zeit irgendwie und deshalb hab ich auch nicht verstanden wie ich das jetzt rechnerisch machen kann..
muss anscheinend irgendwie anders gehen.. obwohl ich doch bewiesen habe das zu den x werten jeweils ein negativer wert raus kommt also unter 0

bitte um erklärung:(

 

Answer 1

Es ist  f'(x) = x·(x + 3)·(x - 3)/3. Für  0 < x < 3  ist  x·(x + 3)  offensichtlich positiv
und  (x - 3)/3  negativ und das Produkt dieser Faktoren demnach negativ.